Um artigo sobre a poluição sonora afirma que os níveis de intensidade do ruído nas grandes cidades vêm crescendo à taxa de 1 dB por ano.
Em quantos anos haverá duplicação da intensidade de um som se o aumento for de 1 dB por ano?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dado: o nível sonoro cresce à taxa de 1\\ \text{dB} por ano.
  • Pedido: determinar em quantos anos a intensidade do som será duplicada (isto é, o fator de intensidade igual a 2) se o aumento for de 1\\ \text{dB} por ano.

Passo 2

Entender o que significa “decibel” e como passar de dB para razão de intensidades.
  • Definição importante: o nível sonoro L em decibéis está relacionado à intensidade I por
L = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right),
onde I é a intensidade sonora e I_0 é uma intensidade de referência (não precisamos do valor de I_0 aqui, só da relação entre intensidades).
  • Se o nível sobe de L_1 para L_2, a diferença \Delta L = L_2-L_1 satisfaz
\Delta L = 10\log_{10}\!\left(\frac{I_2}{I_1}\right),
onde I_1 e I_2 são as intensidades antes e depois. Nesta fórmula:
  • \Delta L está em decibéis;
  • I_1 e I_2 são intensidades (mesmas unidades), e a razão I_2/I_1 é adimensional.
  • Aplicando \Delta L = 1\\ \text{dB} (aumenta 1 dB a cada ano): para cada ano a razão entre intensidade no ano seguinte e no ano anterior é
r=\frac{I_{n+1}}{I_n}=10^{\tfrac{1}{10}}=10^{0,1}.
Isto significa que a intensidade cresce multiplicativamente com fator r por ano. Numericamente,
r=10^{0,1}\approx1,2589,
ou seja, a cada ano a intensidade aumenta cerca de 25{,}9\%.

Passo 3

Modelar o crescimento e impor a condição de duplicação.
  • Se I_0 é a intensidade atual, após t anos a intensidade será
I(t)=I_0\,r^{t}=I_0\left(10^{0,1}\right)^{t}.
  • Para duplicar a intensidade queremos I(t)=2I_0. Assim
\left(10^{0,1}\right)^{t}=2.
  • Tomando logaritmo (base 10 é conveniente aqui):
t\cdot\log_{10}\!\left(10^{0,1}\right)=\log_{10}2.
Como \log_{10}\!\left(10^{0,1}\right)=0,1, obtemos
t=\frac{\log_{10}2}{0,1}.

Passo 4

Calcular numericamente e interpretar o resultado.
  • Usando \log_{10}2\approx0,30103, temos
t\approx\frac{0,30103}{0,1}=3,0103\\ \text{anos}.
  • Em linguagem mais prática, isto é aproximadamente 3{,}01 anos. Convertendo a parte fracionária para dias: 0,0103 de ano \approx0{,}0103\times365\approx3{,}8 dias. Portanto dá cerca de 3 anos e 4 dias.

Resposta

t\approx3{,}01\\ \text{anos} (aproximadamente 3 anos e 4 dias)

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