Um artigo sobre a poluição sonora afirma que os níveis de intensidade do ruído nas grandes cidades vêm crescendo à taxa de 1 dB por ano.
Em quantos anos haverá duplicação da intensidade de um som se o aumento for de 1 dB por ano?
Em quantos anos haverá duplicação da intensidade de um som se o aumento for de 1 dB por ano?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Dado: o nível sonoro cresce à taxa de
por ano. - Pedido: determinar em quantos anos a intensidade do som será duplicada (isto é, o fator de intensidade igual a
) se o aumento for de por ano.
Passo 2
Entender o que significa “decibel” e como passar de dB para razão de intensidades.
- Definição importante: o nível sonoro
em decibéis está relacionado à intensidade por
onde
é a intensidade sonora e
é uma intensidade de referência (não precisamos do valor de
aqui, só da relação entre intensidades).
- Se o nível sobe de
para , a diferença satisfaz
onde
e
são as intensidades antes e depois. Nesta fórmula:
-
está em decibéis; -
e são intensidades (mesmas unidades), e a razão é adimensional. -
Aplicando
(aumenta 1 dB a cada ano): para cada ano a razão entre intensidade no ano seguinte e no ano anterior é
Isto significa que a intensidade cresce multiplicativamente com fator
por ano. Numericamente,
ou seja, a cada ano a intensidade aumenta cerca de
.
Passo 3
Modelar o crescimento e impor a condição de duplicação.
- Se
é a intensidade atual, após anos a intensidade será
- Para duplicar a intensidade queremos
. Assim
- Tomando logaritmo (base
é conveniente aqui):
Como
, obtemos
Passo 4
Calcular numericamente e interpretar o resultado.
- Usando
, temos
- Em linguagem mais prática, isto é aproximadamente
anos. Convertendo a parte fracionária para dias: de ano dias. Portanto dá cerca de anos e dias.