Um estudante de física deixa cair um diapasão de 440 Hz no poço de um elevador de um edifício alto. Quando o estudante ouve a freqüência de 400 Hz , qual terá sido a altura da queda do diapasão?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Informação: Um diapasão tem frequência natural f=440\\ \mathrm{Hz}.
  • Informação: O diapasão é solto (caído) num poço e, enquanto cai, a pessoa que o deixou ouvirá uma frequência f'=400\\ \mathrm{Hz}.
  • Pedido: Determinar a altura h através da qual o diapasão caiu até que, naquele instante, sua velocidade fosse tal que o observador ouve f'=400\\ \mathrm{Hz}.
Dados conhecidos que usaremos (valores comuns em problemas desse tipo):
  • A aceleração da gravidade: g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • É preciso adotar um valor para a velocidade do som no ar; aqui vou assumir v=340\\ \mathrm{m/s}. Se a temperatura do ar não for dada, é normal escolher um valor padrão como este.

Passo 2

Entender o fenômeno físico envolvido (explicação didática e simples).
Quando a fonte sonora (o diapasão) se move em relação ao ouvinte estacionário, a frequência ouvida sofre o efeito Doppler. Se a fonte se afasta do observador, as cristas das ondas sonoras são emitidas com velocidade relativa menor em direção ao ouvinte, o que reduz a frequência percebida. Para uma fonte que se move com velocidade v_s afastando-se de um observador estacionário, a fórmula do efeito Doppler (não-relativística, apropriada para velocidades bem menores que a da luz) é:
f' = f\,\frac{v}{v+v_s},
onde:
  • f é a frequência emitida pela fonte em repouso,
  • f' é a frequência observada,
  • v é a velocidade do som no meio (ar),
  • v_s é a velocidade da fonte em direção ao afastamento (positiva se a fonte se afasta).
Vou explicar a fórmula em palavras: o denominador v+v_s representa que, por a fonte se afastar, as cristas são lançadas por uma fonte que “corre para longe”, aumentando efetivamente o comprimento de onda percebido; então a razão v/(v+v_s) corrige a frequência emitida para a frequência ouvida.

Passo 3

Isolar v_s a partir da fórmula do Doppler.
Começando de
f' = f\,\frac{v}{v+v_s},
isolamos v_s. Primeiro escrevemos a relação invertendo ambos os lados convenientemente:
\frac{f}{f'} = \frac{v+v_s}{v}.
Desenvolvendo:
\frac{f}{f'} = 1 + \frac{v_s}{v}.
Logo
\frac{v_s}{v} = \frac{f}{f'} - 1,
e portanto
v_s = v\!\left(\frac{f}{f'} - 1\right).

Passo 4

Substituir os valores de f e f' para obter v_s; usar o valor escolhido para v.
Com f=440\\ \mathrm{Hz} e f'=400\\ \mathrm{Hz},
\frac{f}{f'}=\frac{440}{400}=1{,}1.
Então
v_s = v\,(1{,}1-1)=v\cdot 0{,}1=\frac{v}{10}.
Com v=340\\ \mathrm{m/s},
v_s=\frac{340}{10}=34\\ \mathrm{m/s}.
Observação rápida: a razão 440/400=1{,}1 simplifica muito o cálculo e foi propositalmente conveniente — por isso v_s=v/10.

Passo 5

Relacionar a velocidade v_s com a altura h usando as leis do movimento uniformemente acelerado (queda livre).
O diapasão foi solto a partir do repouso, portanto sua velocidade após cair uma altura h sob aceleração constante g satisfaz a equação cinemática (fórmula de Torricelli):
v_s^{2}=v_{0}^{2}+2gh,
onde v_{0} é a velocidade inicial. Como foi solto do repouso, v_{0}=0, então
v_s^{2}=2gh.
Isolando h:
h=\frac{v_s^{2}}{2g}.
Aqui v_s é a velocidade do diapasão no instante em que a pessoa ouve f'=400\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Substituir o valor de v_s obtido no Passo 4 na expressão para h e calcular numericamente, mostrando as contas passo a passo.
Temos v_s=34\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}. Então
h=\frac{(34)^{2}}{2\cdot 9{,}8}=\frac{1156}{19{,}6}.
Agora simplificamos a divisão sem calculadora completa: multiplicando numerador e denominador por 10,
\frac{1156}{19{,}6}=\frac{11560}{196}.
Dividindo 11560 por 196: 196\times 59 = 196\times 60 -196 = 11760-196=11564, que é ligeiramente maior que 11560. Portanto o quociente está entre 58 e 59, muito próximo de 59. Fazendo a conta mais precisa,
h\approx 58{,}98\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente (duas algarismos significativos práticos),
h\approx 59\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida da ordem de grandeza.
O resultado indica que o diapasão já caiu uma distância da ordem de dezenas de metros quando sua velocidade passou a ser suficiente para reduzir a frequência ouvida de 440\\ \mathrm{Hz} para 400\\ \mathrm{Hz}. Se alguém preferir usar v=343\\ \mathrm{m/s} (velocidade do som a 20^\circ\mathrm{C}), o cálculo daria v_s=34{,}3\\ \mathrm{m/s} e h\approx 60{,}0\\ \mathrm{m}. Portanto 59\\ \mathrm{m} e 60\\ \mathrm{m} são consistentes, dependendo do valor adotado para v.
Força aí — tá difícil, mas é só aplicar Doppler + cinemática! Você já conseguiu entender como montar e resolver o problema passo a passo.

Resposta

59\\ \mathrm{m}

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