Um estudante de física deixa cair um diapasão de 440 Hz no poço de um elevador de um edifício alto. Quando o estudante ouve a freqüência de 400 Hz , qual terá sido a altura da queda do diapasão?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Informação: Um diapasão tem frequência natural
. - Informação: O diapasão é solto (caído) num poço e, enquanto cai, a pessoa que o deixou ouvirá uma frequência
. - Pedido: Determinar a altura
através da qual o diapasão caiu até que, naquele instante, sua velocidade fosse tal que o observador ouve .
Dados conhecidos que usaremos (valores comuns em problemas desse tipo):
- A aceleração da gravidade:
. - É preciso adotar um valor para a velocidade do som no ar; aqui vou assumir
. Se a temperatura do ar não for dada, é normal escolher um valor padrão como este.
Passo 2
Entender o fenômeno físico envolvido (explicação didática e simples).
Quando a fonte sonora (o diapasão) se move em relação ao ouvinte estacionário, a frequência ouvida sofre o efeito Doppler. Se a fonte se afasta do observador, as cristas das ondas sonoras são emitidas com velocidade relativa menor em direção ao ouvinte, o que reduz a frequência percebida. Para uma fonte que se move com velocidade
afastando-se de um observador estacionário, a fórmula do efeito Doppler (não-relativística, apropriada para velocidades bem menores que a da luz) é:
onde:
-
é a frequência emitida pela fonte em repouso, -
é a frequência observada, -
é a velocidade do som no meio (ar), -
é a velocidade da fonte em direção ao afastamento (positiva se a fonte se afasta).
Vou explicar a fórmula em palavras: o denominador
representa que, por a fonte se afastar, as cristas são lançadas por uma fonte que “corre para longe”, aumentando efetivamente o comprimento de onda percebido; então a razão
corrige a frequência emitida para a frequência ouvida.
Passo 3
Isolar
a partir da fórmula do Doppler.
Começando de
isolamos
. Primeiro escrevemos a relação invertendo ambos os lados convenientemente:
Desenvolvendo:
Logo
e portanto
Passo 4
Substituir os valores de
e
para obter
; usar o valor escolhido para
.
Com
e
,
Então
Com
,
Observação rápida: a razão
simplifica muito o cálculo e foi propositalmente conveniente — por isso
.
Passo 5
Relacionar a velocidade
com a altura
usando as leis do movimento uniformemente acelerado (queda livre).
O diapasão foi solto a partir do repouso, portanto sua velocidade após cair uma altura
sob aceleração constante
satisfaz a equação cinemática (fórmula de Torricelli):
onde
é a velocidade inicial. Como foi solto do repouso,
, então
Isolando
:
Aqui
é a velocidade do diapasão no instante em que a pessoa ouve
.
Passo 6
Substituir o valor de
obtido no Passo 4 na expressão para
e calcular numericamente, mostrando as contas passo a passo.
Temos
e
. Então
Agora simplificamos a divisão sem calculadora completa: multiplicando numerador e denominador por
,
Dividindo
por
:
, que é ligeiramente maior que
. Portanto o quociente está entre
e
, muito próximo de
. Fazendo a conta mais precisa,
Arredondando razoavelmente (duas algarismos significativos práticos),
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida da ordem de grandeza.
O resultado indica que o diapasão já caiu uma distância da ordem de dezenas de metros quando sua velocidade passou a ser suficiente para reduzir a frequência ouvida de
para
. Se alguém preferir usar
(velocidade do som a
), o cálculo daria
e
. Portanto
e
são consistentes, dependendo do valor adotado para
.
Força aí — tá difícil, mas é só aplicar Doppler + cinemática! Você já conseguiu entender como montar e resolver o problema passo a passo.