Um artigo no Transactions of the Institution of Chemical Engineers (Vol.34, 1956, p. 280-293) reportou os dados sobre um experimento investigando o efeito de muitas variáveis de processos na oxidação, em fase vapor, de naftaleno. Uma amostra da conversão percentual molar do naftaleno em anidrido maléico resulta em:
2,0
2,8
2,8
3,0
3,1
3,3
3,6
3,8
3,8
4,0
4,2
4,3
4,7
4,7
4,8
4,8
5,0
5,0
5,1
5,2
Fonte:
Estatística
Aplicada
e Probabilidade
para
Engenheiros
Calcule os percentis 50 e 75. Interprete cada uma das medidas.
| 2,0 | 2,8 | 2,8 | 3,0 | 3,1 | 3,3 | 3,6 | 3,8 | 3,8 | 4,0 |
| 4,2 | 4,3 | 4,7 | 4,7 | 4,8 | 4,8 | 5,0 | 5,0 | 5,1 | 5,2 |
| Fonte: | Estatística | Aplicada | e Probabilidade | para | Engenheiros |
Passo 1
O enunciado pede para calcular os percentis 50 e 75 da amostra dada e interpretar cada medida. A amostra (convertências percentuais molares) fornecida, já em ordem crescente na tabela, é:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O tamanho da amostra é
. - Os dados já aparecem ordenados do menor para o maior (isso é importante para calcular percentis).
- O enunciado pede o percentil 50 (mediana) e o percentil 75 (terceiro quartil) e que as duas medidas sejam interpretadas.
Passo 2
O que é um percentil e qual método vou usar (explicação didática):
- Percentil
(onde ) é um valor tal que aproximadamente das observações são menores ou iguais a esse valor. - Há várias convenções para calcular percentis em amostras finitas. Vou usar o método simples e muito usado em livros introdutórios (fácil de aplicar manualmente): calcular a posição
onde
é o tamanho da amostra. Se
for inteiro, o percentil é o valor nessa posição ordenada; se não for inteiro, interpolo linearmente entre as posições adjacentes.
- Justificativa da escolha: esse método é ensinado cedo, é simples de explicar e de usar sem calculadora, e funciona bem para amostras como a nossa. Se outro método for exigido (por exemplo, usar
ou formulas de softwares), o resultado pode mudar ligeiramente; aqui sigo o método básico para provas e exercícios manuais.
Passo 3
Indexação das observações ordenadas (colocando índice
para cada
):
Passo 4
Cálculo do percentil
(mediana) pelo método
.
- Primeiro calculo a posição para
:
- Como
não é inteiro, o percentil fica entre e . A interpolação linear com fração dá
- Substituindo os valores:
Portanto o percentil
(mediana) é
.
Passo 5
Interpretação do percentil
(mediana), didaticamente e aplicada ao conjunto:
- A mediana é uma medida de posição central: metade (50%) das observações ficam, aproximadamente, abaixo dela e metade acima.
- Na amostra de tamanho
, exatamente observações são menores ou iguais a e são maiores ou iguais a . A mediana fica entre esses dois valores e representa o ponto central do conjunto. - Vantagem prática: a mediana representa o “valor típico” sem ser muito afetada por valores extremos (outliers). Aqui ela indica que um valor típico de conversão é cerca de
.
Passo 6
Cálculo do percentil
(terceiro quartil) pelo mesmo método.
- Calculo a posição para
:
- Como
não é inteiro, ele está entre e . A fração de interpolação é (parte decimal).
- Substituindo:
Portanto o percentil
(terceiro quartil) é
.
Passo 7
Interpretação do percentil
(terceiro quartil), didaticamente e aplicada ao conjunto:
- O percentil
é o valor que “separa” os maiores das observações dos menores. Em outras palavras, cerca de dos dados estão abaixo ou iguais a esse valor e acima. - Na prática, usando a amostra discreta, temos
e observamos que de observações são , ou seja (80%). Por que 80% e não exatamente 75%? Porque a amostra é discreta e o valor exato do percentil foi obtido por interpolação; diferentes definições podem levar a pequenas diferenças. Ainda assim, representa bem a região onde começam os valores mais altos (os 25% maiores). - Uso prático: o terceiro quartil mostra a “fronteira superior típica” — aqui, conversões maiores que
estão no quarto superior da amostra (aprox. os 20–25% maiores valores).
Resposta
Percentil 50:
Percentil 75: