Um artigo no Transactions of the Institution of Chemical Engineers (Vol.34, 1956, p. 280-293) reportou os dados sobre um experimento investigando o efeito de muitas variáveis de processos na oxidação, em fase vapor, de naftaleno. Uma amostra da conversão percentual molar do naftaleno em anidrido maléico resulta em:
2,0 2,8 2,8 3,0 3,1 3,3 3,6 3,8 3,8 4,0
4,2 4,3 4,7 4,7 4,8 4,8 5,0 5,0 5,1 5,2
Fonte: Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros
Calcule os percentis 50 e 75. Interprete cada uma das medidas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular os percentis 50 e 75 da amostra dada e interpretar cada medida. A amostra (convertências percentuais molares) fornecida, já em ordem crescente na tabela, é:
2{,}0,\;2{,}8,\;2{,}8,\;3{,}0,\;3{,}1,\;3{,}3,\;3{,}6,\;3{,}8,\;3{,}8,\;4{,}0,
4{,}2,\;4{,}3,\;4{,}7,\;4{,}7,\;4{,}8,\;4{,}8,\;5{,}0,\;5{,}0,\;5{,}1,\;5{,}2
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O tamanho da amostra é \,n=20.
  • Os dados já aparecem ordenados do menor para o maior (isso é importante para calcular percentis).
  • O enunciado pede o percentil 50 (mediana) e o percentil 75 (terceiro quartil) e que as duas medidas sejam interpretadas.

Passo 2

O que é um percentil e qual método vou usar (explicação didática):
  • Percentil p (onde 0<p<1) é um valor tal que aproximadamente 100p\% das observações são menores ou iguais a esse valor.
  • Há várias convenções para calcular percentis em amostras finitas. Vou usar o método simples e muito usado em livros introdutórios (fácil de aplicar manualmente): calcular a posição
k_p = p\cdot (n+1),
onde n é o tamanho da amostra. Se k_p for inteiro, o percentil é o valor nessa posição ordenada; se não for inteiro, interpolo linearmente entre as posições adjacentes.
  • Justificativa da escolha: esse método é ensinado cedo, é simples de explicar e de usar sem calculadora, e funciona bem para amostras como a nossa. Se outro método for exigido (por exemplo, usar p\cdot n ou formulas de softwares), o resultado pode mudar ligeiramente; aqui sigo o método básico para provas e exercícios manuais.

Passo 3

Indexação das observações ordenadas (colocando índice i para cada x_{(i)}):
\begin{array}{ll} x_{(1)}=2{,}0, & x_{(11)}=4{,}2,\\\ x_{(2)}=2{,}8, & x_{(12)}=4{,}3,\\\ x_{(3)}=2{,}8, & x_{(13)}=4{,}7,\\\ x_{(4)}=3{,}0, & x_{(14)}=4{,}7,\\\ x_{(5)}=3{,}1, & x_{(15)}=4{,}8,\\\ x_{(6)}=3{,}3, & x_{(16)}=4{,}8,\\\ x_{(7)}=3{,}6, & x_{(17)}=5{,}0,\\\ x_{(8)}=3{,}8, & x_{(18)}=5{,}0,\\\ x_{(9)}=3{,}8, & x_{(19)}=5{,}1,\\\ x_{(10)}=4{,}0,& x_{(20)}=5{,}2.\\\ \end{array}

Passo 4

Cálculo do percentil 50 (mediana) pelo método k_p=p(n+1).
  • Primeiro calculo a posição para p=0{,}50:
k_{0{,}50} = 0{,}50\cdot (n+1) = 0{,}50\cdot 21 = 10{,}5.
  • Como k_{0{,}50}=10{,}5 não é inteiro, o percentil fica entre x_{(10)} e x_{(11)}. A interpolação linear com fração d=0{,}5
\text{Percentil }50 = x_{(10)} + d\bigl(x_{(11)}-x_{(10)}\bigr).
  • Substituindo os valores:
x_{(10)} = 4{,}0,\qquad x_{(11)} = 4{,}2,\qquad d=0{,}5,
\text{Percentil }50 = 4{,}0 + 0{,}5\cdot(4{,}2-4{,}0)=4{,}0+0{,}5\cdot 0{,}2=4{,}0+0{,}1=4{,}1.
Portanto o percentil 50 (mediana) é \,4{,}1.

Passo 5

Interpretação do percentil 50 (mediana), didaticamente e aplicada ao conjunto:
  • A mediana é uma medida de posição central: metade (50%) das observações ficam, aproximadamente, abaixo dela e metade acima.
  • Na amostra de tamanho \,n=20, exatamente 10 observações são menores ou iguais a 4{,}0 e 10 são maiores ou iguais a 4{,}2. A mediana 4{,}1 fica entre esses dois valores e representa o ponto central do conjunto.
  • Vantagem prática: a mediana representa o “valor típico” sem ser muito afetada por valores extremos (outliers). Aqui ela indica que um valor típico de conversão é cerca de 4{,}1\%.

Passo 6

Cálculo do percentil 75 (terceiro quartil) pelo mesmo método.
  • Calculo a posição para p=0{,}75:
k_{0{,}75} = 0{,}75\cdot (n+1) = 0{,}75\cdot 21 = 15{,}75.
  • Como k_{0{,}75}=15{,}75 não é inteiro, ele está entre x_{(15)} e x_{(16)}. A fração de interpolação é d=0{,}75 (parte decimal).
\text{Percentil }75 = x_{(15)} + d\bigl(x_{(16)}-x_{(15)}\bigr).
  • Substituindo:
x_{(15)}=4{,}8,\qquad x_{(16)}=4{,}8,\qquad d=0{,}75,
\text{Percentil }75 = 4{,}8 + 0{,}75\cdot(4{,}8-4{,}8) = 4{,}8 + 0 = 4{,}8.
Portanto o percentil 75 (terceiro quartil) é \,4{,}8.

Passo 7

Interpretação do percentil 75 (terceiro quartil), didaticamente e aplicada ao conjunto:
  • O percentil 75 é o valor que “separa” os maiores 25\% das observações dos 75\% menores. Em outras palavras, cerca de 75\% dos dados estão abaixo ou iguais a esse valor e 25\% acima.
  • Na prática, usando a amostra discreta, temos x_{(16)}=4{,}8 e observamos que 16 de 20 observações são \leq 4{,}8, ou seja 16/20=0{,}80 (80%). Por que 80% e não exatamente 75%? Porque a amostra é discreta e o valor exato do percentil foi obtido por interpolação; diferentes definições podem levar a pequenas diferenças. Ainda assim, 4{,}8 representa bem a região onde começam os valores mais altos (os 25% maiores).
  • Uso prático: o terceiro quartil mostra a “fronteira superior típica” — aqui, conversões maiores que 4{,}8\% estão no quarto superior da amostra (aprox. os 20–25% maiores valores).

Resposta

Percentil 50: 4{,}1
Percentil 75: 4{,}8

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