Um artigo no Transactions of the Institution of Chemical Engineers (Vol.34, 1956, p. 280-293) reportou os dados sobre um experimento investigando o efeito de muitas variáveis de processos na oxidação, em fase vapor, de naftaleno. Uma amostra da conversão percentual molar do naftaleno em anidrido maléico resulta em:
2,0
2,8
2,8
3,0
3,1
3,3
3,6
3,8
3,8
4,0
4,2
4,3
4,7
4,7
4,8
4,8
5,0
5,0
5,1
5,2
Fonte:
Estatística
Aplicada
e Probabilidade
para
Engenheiros
Desejando-se separar os
da amostra com menores conversão percentual molar do naftaleno em anidrido maléico, qual seria o ponto de corte?
| 2,0 | 2,8 | 2,8 | 3,0 | 3,1 | 3,3 | 3,6 | 3,8 | 3,8 | 4,0 |
| 4,2 | 4,3 | 4,7 | 4,7 | 4,8 | 4,8 | 5,0 | 5,0 | 5,1 | 5,2 |
| Fonte: | Estatística | Aplicada | e Probabilidade | para | Engenheiros |
Passo 1
O enunciado pede: determinar o ponto de corte que separa os
da amostra com menores valores da conversão percentual molar do naftaleno em anidrido maléico — ou seja, encontrar o primeiro quartil (o percentil de ordem
) da amostra.
As observações fornecidas são (peguei todos os valores do enunciado, já apresentados em ordem crescente nas duas linhas):
As observações fornecidas são (peguei todos os valores do enunciado, já apresentados em ordem crescente nas duas linhas):
Número de observações:
.
O que precisamos entregar: o valor numérico do ponto de corte (em percentual) que separa os menores valores.
O que precisamos entregar: o valor numérico do ponto de corte (em percentual) que separa os
Passo 2
Breve explicação do conceito que vamos usar (calma, passo a passo): o percentil de ordem
(aqui
) é um valor tal que aproximadamente
das observações são menores ou iguais a ele. Para amostras finitas há várias convenções de cálculo; a forma mais básica e ensinada em cursos introdutórios é usar a posição
onde
é o número de observações. Essa regra simples faz interpolação linear quando
não é inteiro e é prática para cálculo sem software. Vou usar essa convenção porque é a mais elementar e apropriada para provas sem calculadora.
Passo 3
Aplicando a fórmula da posição para o
(primeiro quartil):
Aqui e
. Calcula-se
Aqui
Agora faço a multiplicação passo a passo:
Portanto a posição
é
. Isso significa que o primeiro quartil está entre a
-ª e a
-ª observações ordenadas, a
fração do caminho do 5º para o 6º valor.
Passo 4
Identificar as observações de posição
e
na lista ordenada (peguei estes valores da lista dada no enunciado):
Explicando a notação:
indica a
-ésima menor observação (ordem estatística).
Passo 5
Interpolação linear entre
e
: como
, a fração entre o 5º e o 6º é
(a parte decimal de
). A fórmula de interpolação é
Aqui
. Substituo os valores:
Passo 6
Calcular a diferença e a multiplicação passo a passo:
Logo
Passo 7
Interpretação final (rápido e encorajador): o ponto de corte que separa os
menores valores da amostra é
(unidade: porcentagem de conversão molar). Isso significa que aproximadamente
das observações têm valor menor ou igual a
. Bom trabalho — já está!