Um artigo no Transactions of the Institution of Chemical Engineers (Vol.34, 1956, p. 280-293) reportou os dados sobre um experimento investigando o efeito de muitas variáveis de processos na oxidação, em fase vapor, de naftaleno. Uma amostra da conversão percentual molar do naftaleno em anidrido maléico resulta em:
2,0 2,8 2,8 3,0 3,1 3,3 3,6 3,8 3,8 4,0
4,2 4,3 4,7 4,7 4,8 4,8 5,0 5,0 5,1 5,2
Fonte: Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros
Desejando-se separar os 25 \% da amostra com menores conversão percentual molar do naftaleno em anidrido maléico, qual seria o ponto de corte?

Passo 1

O enunciado pede: determinar o ponto de corte que separa os 25\% da amostra com menores valores da conversão percentual molar do naftaleno em anidrido maléico — ou seja, encontrar o primeiro quartil (o percentil de ordem 25\%) da amostra.
As observações fornecidas são (peguei todos os valores do enunciado, já apresentados em ordem crescente nas duas linhas):
2,0,\;2,8,\;2,8,\;3,0,\;3,1,\;3,3,\;3,6,\;3,8,\;3,8,\;4,0,
4,2,\;4,3,\;4,7,\;4,7,\;4,8,\;4,8,\;5,0,\;5,0,\;5,1,\;5,2.
Número de observações: n=20.
O que precisamos entregar: o valor numérico do ponto de corte (em percentual) que separa os 25\% menores valores.

Passo 2

Breve explicação do conceito que vamos usar (calma, passo a passo): o percentil de ordem p (aqui p=0,25) é um valor tal que aproximadamente 100p\% das observações são menores ou iguais a ele. Para amostras finitas há várias convenções de cálculo; a forma mais básica e ensinada em cursos introdutórios é usar a posição
L = p\,(n+1),
onde n é o número de observações. Essa regra simples faz interpolação linear quando L não é inteiro e é prática para cálculo sem software. Vou usar essa convenção porque é a mais elementar e apropriada para provas sem calculadora.

Passo 3

Aplicando a fórmula da posição para o 25\% (primeiro quartil):
Aqui p=0,25 e n=20. Calcula-se
L = 0,25\,(20+1)=0,25\times21.
Agora faço a multiplicação passo a passo:
0,25\times21 = 0,25\times20 + 0,25\times1 = 5 + 0,25 = 5,25.
Portanto a posição L é 5,25. Isso significa que o primeiro quartil está entre a 5-ª e a 6-ª observações ordenadas, a 0,25 fração do caminho do 5º para o 6º valor.

Passo 4

Identificar as observações de posição 5 e 6 na lista ordenada (peguei estes valores da lista dada no enunciado):
x_{(5)} = 3,1,\qquad x_{(6)} = 3,3.
Explicando a notação: x_{(k)} indica a k-ésima menor observação (ordem estatística).

Passo 5

Interpolação linear entre x_{(5)} e x_{(6)}: como L=5,25, a fração entre o 5º e o 6º é 0,25 (a parte decimal de L). A fórmula de interpolação é
Q_{0,25} = x_{(5)} + (L-5)\bigl(x_{(6)}-x_{(5)}\bigr).
Aqui L-5=0,25. Substituo os valores:
Q_{0,25} = 3,1 + 0,25\times(3,3-3,1).

Passo 6

Calcular a diferença e a multiplicação passo a passo:
3,3-3,1 = 0,2.
0,25\times 0,2 = 0,05.
Logo
Q_{0,25} = 3,1 + 0,05 = 3,15.

Passo 7

Interpretação final (rápido e encorajador): o ponto de corte que separa os 25\% menores valores da amostra é 3,15 (unidade: porcentagem de conversão molar). Isso significa que aproximadamente 25\% das observações têm valor menor ou igual a 3,15\%. Bom trabalho — já está!

Resposta

3,15\%

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