O artigo “Uncertainty estimation in railway track life-cycle cost” (J. of Rail and Rapid Transit, 2009) apresentou os seguintes dados sobre o tempo de reparo (minutos) de uma ruptura no trilho elevado de uma linha ferroviária curva.
É plausível que a distribuição populacional para o tempo de reparo seja pelo
menos aproximadamente normal. A média amostral e o desvio padrão são 249,7 e 145,1, respectivamente. Existem evidências convincentes para concluir que o tempo de reparo médio verdadeiro excede 200 minutos? Realize um teste de hipótese utilizando um nível de significância de 0,05.
menos aproximadamente normal. A média amostral e o desvio padrão são 249,7 e 145,1, respectivamente. Existem evidências convincentes para concluir que o tempo de reparo médio verdadeiro excede 200 minutos? Realize um teste de hipótese utilizando um nível de significância de 0,05.
Passo 1
O enunciado fornece um conjunto de tempos de reparo (minutos). Dos dados foram calculados os seguintes resumos amostrais (pegados do enunciado):
- tamanho da amostra:
; - média amostral:
minutos; - desvio padrão amostral:
minutos.
O que o problema pede:
- testar se o tempo de reparo médio populacional verdadeiro excede
minutos, isto é, verificar se há evidências de que a média satisfaz . - usar nível de significância
.
Passo 2
Formulando o teste de hipótese claramente (essa é a parte que na prova você deve escrever exatamente):
Explicação intuitiva: a hipótese nula
diz que o tempo médio é
minutos; a alternativa unilateral
diz que o verdadeiro tempo médio é maior do que
minutos. Vamos buscar evidência para a cauda superior.
Passo 3
Escolha do teste e a fórmula da estatística:
- O desvio padrão populacional é desconhecido e
é pequeno ( ), portanto usamos o teste t de Student para uma média amostral. - A estatística de teste é
onde:
-
é a média amostral, -
é o valor hipotético sob (aqui ), -
é o desvio padrão amostral, -
é o tamanho da amostra, -
segue a distribuição com graus de liberdade sob .
Passo 4
Calcular o erro padrão da média (passo-a-passo):
Calculemos
primeiro:
.
Agora
Agora
Portanto o erro padrão vale aproximadamente
minutos.
Passo 5
Calcular a estatística
(passo-a-passo):
Logo
Passo 6
Determinar a regra de decisão usando o valor crítico e o nível
:
- Graus de liberdade:
. - Para um teste unilateral à direita com
e , o valor crítico é aproximadamente .
Regra: rejeitarse .
Comparando: o
obtido é
, que é menor que
. Portanto pelo critério do valor crítico não rejeitamos
.
Passo 7
Cálculo aproximado do p‑valor (para interpretar o nível de evidência):
- O p‑valor unilateral é
. - Usando aproximação, para
com obtemos um p‑valor aproximadamente (uma estimativa razoável baseada na tabela/forma da distribuição t; nota: usando aproximação normal seria , e a t com tem caudas um pouco mais largas, então o p aumenta um pouco).
Interpretação:, logo não há evidência suficiente para rejeitar .
Passo 8
Conclusão em linguagem de prova/avaliação:
- A estatística de teste foi
com graus de liberdade. - O p‑valor aproximado é
. - Como
(ou equivalentemente ), não rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância . - Em palavras simples: com estes dados e essa variabilidade, não há evidência convincente, ao nível de
, de que o tempo de reparo médio verdadeiro exceda minutos. Pode haver uma média maior que , mas a amostra é pequena e o desvio padrão é grande, então não ficou estatisticamente comprovado.
Força aí — o resultado não rejeitar
não significa que a média é exatamente
; apenas que a amostra não traz evidência suficientemente forte para afirmar que ela é maior do que
com confiança de
.
Resposta
Não. Estatística de teste
,
; não rejeita-se
ao nível
.