O artigo “Uncertainty estimation in railway track life-cycle cost” (J. of Rail and Rapid Transit, 2009) apresentou os seguintes dados sobre o tempo de reparo (minutos) de uma ruptura no trilho elevado de uma linha ferroviária curva.
\begin{array}{rrrrrrr} 159 & 120 & 480 & 149 & 270 & 547 & 340 \\\\ 43 & 228 & 202 & 240 & 218 & \end{array}
É plausível que a distribuição populacional para o tempo de reparo seja pelo
menos aproximadamente normal. A média amostral e o desvio padrão são 249,7 e 145,1, respectivamente. Existem evidências convincentes para concluir que o tempo de reparo médio verdadeiro excede 200 minutos? Realize um teste de hipótese utilizando um nível de significância de 0,05.

Passo 1

O enunciado fornece um conjunto de tempos de reparo (minutos). Dos dados foram calculados os seguintes resumos amostrais (pegados do enunciado):
  • tamanho da amostra: n=12;
  • média amostral: \bar{x}=249,7 minutos;
  • desvio padrão amostral: s=145,1 minutos.
O que o problema pede:
  • testar se o tempo de reparo médio populacional verdadeiro excede 200 minutos, isto é, verificar se há evidências de que a média \mu satisfaz \mu>200.
  • usar nível de significância \alpha=0,05.

Passo 2

Formulando o teste de hipótese claramente (essa é a parte que na prova você deve escrever exatamente):
H_0: \mu = 200
H_1: \mu > 200
Explicação intuitiva: a hipótese nula H_0 diz que o tempo médio é 200 minutos; a alternativa unilateral H_1 diz que o verdadeiro tempo médio é maior do que 200 minutos. Vamos buscar evidência para a cauda superior.

Passo 3

Escolha do teste e a fórmula da estatística:
  • O desvio padrão populacional é desconhecido e n é pequeno ( n=12), portanto usamos o teste t de Student para uma média amostral.
  • A estatística de teste é
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral,
  • \mu_0 é o valor hipotético sob H_0 (aqui \mu_0=200),
  • s é o desvio padrão amostral,
  • n é o tamanho da amostra,
  • t segue a distribuição t com n-1 graus de liberdade sob H_0.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média (passo-a-passo):
\text{erro padrão} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{145,1}{\sqrt{12}}.ã
Calculemos \sqrt{12} primeiro: \sqrt{12}\approx 3,4641.
Agora
\frac{145,1}{3,4641}\approx 41,901.
Portanto o erro padrão vale aproximadamente 41,901 minutos.

Passo 5

Calcular a estatística t (passo-a-passo):
\bar{x}-\mu_0 = 249,7 - 200 = 49,7.
Logo
t=\frac{49,7}{41,901}\approx 1,187.

Passo 6

Determinar a regra de decisão usando o valor crítico e o nível \alpha=0,05:
  • Graus de liberdade: df=n-1=11.
  • Para um teste unilateral à direita com \alpha=0,05 e df=11, o valor crítico é aproximadamente t_{0{,}95;11}\approx 1,796.
    Regra: rejeitar H_0 se t>1,796.
Comparando: o t obtido é t\approx 1,187, que é menor que 1,796. Portanto pelo critério do valor crítico não rejeitamos H_0.

Passo 7

Cálculo aproximado do p‑valor (para interpretar o nível de evidência):
  • O p‑valor unilateral é p = P_{T_{11}}(T \ge 1,187).
  • Usando aproximação, para t=1,187 com df=11 obtemos um p‑valor aproximadamente p\approx 0,13 (uma estimativa razoável baseada na tabela/forma da distribuição t; nota: usando aproximação normal seria p\approx 0,12, e a t com df=11 tem caudas um pouco mais largas, então o p aumenta um pouco).
    Interpretação: p\approx 0,13 > \alpha=0,05, logo não há evidência suficiente para rejeitar H_0.

Passo 8

Conclusão em linguagem de prova/avaliação:
  • A estatística de teste foi t\approx 1,187 com 11 graus de liberdade.
  • O p‑valor aproximado é p\approx 0,13.
  • Como p>0,05 (ou equivalentemente t<1,796), não rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância 0,05.
  • Em palavras simples: com estes dados e essa variabilidade, não há evidência convincente, ao nível de 5\%, de que o tempo de reparo médio verdadeiro exceda 200 minutos. Pode haver uma média maior que 200, mas a amostra é pequena e o desvio padrão é grande, então não ficou estatisticamente comprovado.
Força aí — o resultado não rejeitar H_0 não significa que a média é exatamente 200; apenas que a amostra não traz evidência suficientemente forte para afirmar que ela é maior do que 200 com confiança de 95\%.

Resposta

Não. Estatística de teste t\approx 1,187, p\approx 0,13; não rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0,05.

Exercícios relacionados