De acordo com o artigo “Fatigue testing of condoms” (Polymer Testing, 2009: 567-571), “os testes usados atualmente para preservativos substituem os desafios que estes enfrentam durante o uso”, incluindo
um teste para orifícios, um teste de inflação, um teste de vedação da embalagem e testes de dimensões e de qualidade do lubrificante. Os pesquisadores desenvolveram um novo teste que adiciona tensão cíclica a um nível bem abaixo da ruptura e determina o número de ciclos para o rompimento. Uma amostra de 20 preservativos de determinado tipo resultou em um número médio amostral de 1.584 e um desvio padrão amostral de 607. Calcule e interprete um intervalo de 99% confiança para o número médio real de ciclos para o rompimento. [Dica: o artigo apresentou os resultados de testes de hipótese com base na distribuição t; a validade destes depende de supor que a população siga uma distribuição normal.]

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que ele fornece:\n
  • Pede-se calcular e interpretar um intervalo de confiança de 99\% para o número médio real de ciclos até o rompimento.
  • Informações fornecidas (pego do enunciado):
    • Tamanho da amostra: n=20.
    • Média amostral: \bar{x}=1584.
    • Desvio padrão amostral: s=607.
  • Observação do enunciado (importante para a validade do método): supõe-se que a população segue uma distribuição normal.

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicando de forma simples):\n
  • Queremos um intervalo para a média populacional \mu.
  • A variância populacional não é conhecida (só temos s), e o tamanho da amostra é relativamente pequeno ( n=20, menor que 30). Nessas condições usamos a distribuição t de Student em vez da normal padrão.
  • A fórmula padrão do intervalo de confiança para a média, quando \sigma é desconhecida, é baseada na t-distribuição com n-1 graus de liberdade. Não há outro dado obrigatório no enunciado, então este é o método apropriado.

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança e explicação dos termos:\n
A fórmula do intervalo de confiança de nível (1-\alpha) para a média populacional é:
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo (sem jargões):\n
  • \bar{x} é a média da amostra (aqui \bar{x}=1584).
  • t_{\alpha/2,\;n-1} é o valor crítico da distribuição t com n-1 graus de liberdade, tal que a área em cada cauda é \alpha/2. Para um intervalo de 99\%, \alpha=0,01 e \alpha/2=0,005.
  • s é o desvio padrão da amostra (aqui s=607).
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra (aqui \sqrt{20}).
  • O termo \dfrac{s}{\sqrt{n}} chama-se erro padrão da média (standard error) e mede a incerteza da média amostral como estimador da média populacional.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média passo a passo:\n
Primeiro a raiz quadrada do tamanho da amostra:
\sqrt{n}=\sqrt{20}\approx 4,4721.
Agora o erro padrão:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{607}{\sqrt{20}}\approx \frac{607}{4,4721}\approx 135,74.
Aqui escrevi os passos para que dê para refazer à mão com aproximações razoáveis.

Passo 5

Obter o valor crítico t_{\alpha/2,\;n-1}:\n
  • Temos n-1=19 graus de liberdade. Para nível de confiança 99\% (ou seja, \alpha/2=0,005), o valor crítico tabelado é aproximadamente
t_{0,005,\;19}\approx 2,861.
(Isto vem de uma tabela da distribuição t ou de calculadora estatística; em prova costuma-se consultar a tabela.)

Passo 6

Calcular a margem de erro e o intervalo:\n
Margem de erro:
E = t_{0,005,\;19}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,861\times 135,74\approx 388,53.
Agora o intervalo de confiança:
\bar{x}-E \approx 1584-388,53\approx 1195,47,
\bar{x}+E \approx 1584+388,53\approx 1972,53.
Ou seja, o intervalo (com os números calculados) é aproximadamente
[1195,47,\;1972,53].

Passo 7

Arredondamento, interpretação prática e observações finais:\n
  • Arredondando para valores inteiros de ciclos, fica aproximadamente [1195,\;1973] ciclos.
  • Interpretação (linguagem amigável e correta): dizer que temos 99\% de confiança significa que, se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo do mesmo tipo a partir de cada amostra, cerca de 99\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional de ciclos até o rompimento. Não significa que haja 99\% de chance de que um dado intervalo específico contenha a média — interpreta-se no longo prazo.
  • Observação importante: a validade desse intervalo depende da suposição de normalidade da população (conforme a dica do enunciado). Com n=20 essa suposição é relevante; se a população fosse muito assimétrica, o intervalo poderia não ser tão confiável.

Resposta

[1195,47,\;1972,53]

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