De acordo com o artigo “Fatigue testing of condoms” (Polymer Testing, 2009: 567-571), “os testes usados atualmente para preservativos substituem os desafios que estes enfrentam durante o uso”, incluindo
um teste para orifícios, um teste de inflação, um teste de vedação da embalagem e testes de dimensões e de qualidade do lubrificante. Os pesquisadores desenvolveram um novo teste que adiciona tensão cíclica a um nível bem abaixo da ruptura e determina o número de ciclos para o rompimento. Uma amostra de 20 preservativos de determinado tipo resultou em um número médio amostral de 1.584 e um desvio padrão amostral de 607. Calcule e interprete um intervalo de 99% confiança para o número médio real de ciclos para o rompimento. [Dica: o artigo apresentou os resultados de testes de hipótese com base na distribuição t; a validade destes depende de supor que a população siga uma distribuição normal.]
um teste para orifícios, um teste de inflação, um teste de vedação da embalagem e testes de dimensões e de qualidade do lubrificante. Os pesquisadores desenvolveram um novo teste que adiciona tensão cíclica a um nível bem abaixo da ruptura e determina o número de ciclos para o rompimento. Uma amostra de 20 preservativos de determinado tipo resultou em um número médio amostral de 1.584 e um desvio padrão amostral de 607. Calcule e interprete um intervalo de 99% confiança para o número médio real de ciclos para o rompimento. [Dica: o artigo apresentou os resultados de testes de hipótese com base na distribuição t; a validade destes depende de supor que a população siga uma distribuição normal.]
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que ele fornece:\n
- Pede-se calcular e interpretar um intervalo de confiança de
para o número médio real de ciclos até o rompimento. - Informações fornecidas (pego do enunciado):
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Desvio padrão amostral:
.
- Tamanho da amostra:
- Observação do enunciado (importante para a validade do método): supõe-se que a população segue uma distribuição normal.
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicando de forma simples):\n
- Queremos um intervalo para a média populacional
. - A variância populacional não é conhecida (só temos
), e o tamanho da amostra é relativamente pequeno ( , menor que 30). Nessas condições usamos a distribuição de Student em vez da normal padrão. - A fórmula padrão do intervalo de confiança para a média, quando
é desconhecida, é baseada na -distribuição com graus de liberdade. Não há outro dado obrigatório no enunciado, então este é o método apropriado.
Passo 3
Fórmula do intervalo de confiança e explicação dos termos:\n
A fórmula do intervalo de confiança de nível para a média populacional é:
A fórmula do intervalo de confiança de nível
Explicando cada símbolo (sem jargões):\n
-
é a média da amostra (aqui ). -
é o valor crítico da distribuição com graus de liberdade, tal que a área em cada cauda é . Para um intervalo de , e . -
é o desvio padrão da amostra (aqui ). -
é a raiz quadrada do tamanho da amostra (aqui ). - O termo
chama-se erro padrão da média (standard error) e mede a incerteza da média amostral como estimador da média populacional.
Passo 4
Calcular o erro padrão da média passo a passo:\n
Primeiro a raiz quadrada do tamanho da amostra:
Primeiro a raiz quadrada do tamanho da amostra:
Agora o erro padrão:
Aqui escrevi os passos para que dê para refazer à mão com aproximações razoáveis.
Passo 5
Obter o valor crítico
:\n
- Temos
graus de liberdade. Para nível de confiança (ou seja, ), o valor crítico tabelado é aproximadamente
(Isto vem de uma tabela da distribuição
ou de calculadora estatística; em prova costuma-se consultar a tabela.)
Passo 6
Calcular a margem de erro e o intervalo:\n
Margem de erro:
Margem de erro:
Agora o intervalo de confiança:
Ou seja, o intervalo (com os números calculados) é aproximadamente
Passo 7
Arredondamento, interpretação prática e observações finais:\n
- Arredondando para valores inteiros de ciclos, fica aproximadamente
ciclos. - Interpretação (linguagem amigável e correta): dizer que temos
de confiança significa que, se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo do mesmo tipo a partir de cada amostra, cerca de desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional de ciclos até o rompimento. Não significa que haja de chance de que um dado intervalo específico contenha a média — interpreta-se no longo prazo. - Observação importante: a validade desse intervalo depende da suposição de normalidade da população (conforme a dica do enunciado). Com
essa suposição é relevante; se a população fosse muito assimétrica, o intervalo poderia não ser tão confiável.