O artigo “Gas cooking, kitchen ventilation, and exposure to combustion products” (Indoor Air, 2006: 65-73) informou que, para uma amostra de 50 cozinhas com aparelhos de cozimento a gás monitoradas durante um período de uma semana, o nível de
médio (ppm) era de 654,16 e o desvio padrão amostral era de 164,43 .
a. Calcule e interprete um intervalo de
de confiança (bilateral) para o nível de
médio real na população de todas as residências da qual a amostra foi selecionada.
b. Suponha que os pesquisadores tenham feito uma suposição grosseira de 175 para o valor de s antes de coletar os dados. Que tamanho de amostra seria necessário para obter uma amplitude do intervalo de 50 ppm , para um nível de confiança de
?
a. Calcule e interprete um intervalo de
b. Suponha que os pesquisadores tenham feito uma suposição grosseira de 175 para o valor de s antes de coletar os dados. Que tamanho de amostra seria necessário para obter uma amplitude do intervalo de 50 ppm , para um nível de confiança de
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (sem qualquer suposição extra):
- Dados da amostra de
cozinhas: - média amostral do nível de
: (ppm). - desvio padrão amostral:
(ppm).
- média amostral do nível de
- Perguntas:
- (a) Calcular e interpretar um intervalo de
de confiança bilateral para a média populacional verdadeira do nível de . - (b) Supondo que, antes da coleta, os pesquisadores tenham estimado grosseiramente
. Qual o tamanho de amostra necessário para que a amplitude do intervalo de confiança seja ppm para nível de confiança ?
- (a) Calcular e interpretar um intervalo de
- Observações práticas que usarei mais adiante (já dadas pelo enunciado): amplitude do intervalo é a largura total; se pedirem amplitude
ppm, isso implica que a meia-amplitude (erro máximo tolerado) será ppm.
Passo 2
Explicando o que é um intervalo de confiança e qual fórmula usar.
- Um intervalo de confiança de
para a média populacional quer dizer: construir um intervalo a partir da amostra tal que, em repetidas amostragens, aproximadamente desses intervalos conteriam o verdadeiro . Não é afirmar que há de probabilidade sobre um fixo — é uma interpretação de procedimento. - Quando a variância populacional é desconhecida (como aqui) e usamos o desvio amostral
, a construção exata usa a distribuição de Student com graus de liberdade. A fórmula do intervalo bilateral é:
onde:
-
é a média amostral, -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade (para de confiança, ), -
é o desvio padrão amostral, -
é o tamanho da amostra, -
é o erro padrão da média (standard error).
Passo 3
Aplicando a fórmula para o item (a): cálculo do erro padrão e do valor crítico
.
- Graus de liberdade:
. - Valor crítico:
(obtido em tabela de ou calculadora estatística). - Erro padrão (standard error):
Agora calculo numericamente
e a SE:
Passo 4
Cálculo da meia-amplitude (margem de erro) e do intervalo de confiança.
- Meia-amplitude (margem de erro):
- Intervalo de confiança:
Portanto o intervalo de
é aproximadamente
(ppm).
Passo 5
Interpretação do item (a) — linguagem prática e incentivadora.
- Interpretação: com os dados da amostra, um intervalo de
de confiança para a média real de na população é aproximadamente de ppm até ppm. Isso significa que o procedimento usado (coletar amostras de tamanho 50 e construir intervalos assim) captura o verdadeiro valor médio em cerca de das repetições hipotéticas do processo amostral. Em termos práticos: é razoável afirmar que o verdadeiro nível médio está nesse intervalo, dado os dados e as suposições (amostra representativa e distribuição adequada/CLT).
Passo 6
Agora o item (b): como determinar
para uma amplitude desejada de
ppm (logo
ppm).
- Quando planejamos o tamanho da amostra e usamos uma estimativa prévia de
(aqui suposto ), a fórmula usual para a meia-amplitude (erro máximo aceitável) usando a aproximação normal é:
Isolando
:
Explicação da escolha do
em vez de
: no planejamento de amostra,
ainda é desconhecido, e costuma-se usar o quantil normal
com a estimativa de
(uma prática padrão). Usar
exigiria já saber
para o quantil, o que seria circular; a diferença é pequena quando
esperado é moderado/grande.
Passo 7
Cálculo numérico do item (b).
- Para
de confiança, . - Substituindo
e :
Calculo interno:
- Como o tamanho de amostra deve ser inteiro e para garantir que a metade da amplitude não exceda
, arredonda-se para cima:
Passo 8
Comentário final curto e motivador.
- Resultado prático: com a variabilidade suposta
, seriam necessárias cerca de cozinhas para que o intervalo de tenha largura total ppm. Boa notícia: já sabe como montar intervalos e calcular — com calma e passo a passo dá pra fazer na prova.
Resposta
(a)
(ppm)
(b)
(b)