O artigo “Gas cooking, kitchen ventilation, and exposure to combustion products” (Indoor Air, 2006: 65-73) informou que, para uma amostra de 50 cozinhas com aparelhos de cozimento a gás monitoradas durante um período de uma semana, o nível de \mathrm{CO}_{2} médio (ppm) era de 654,16 e o desvio padrão amostral era de 164,43 .
a. Calcule e interprete um intervalo de 95 \% de confiança (bilateral) para o nível de \mathrm{CO}_{2} médio real na população de todas as residências da qual a amostra foi selecionada.
b. Suponha que os pesquisadores tenham feito uma suposição grosseira de 175 para o valor de s antes de coletar os dados. Que tamanho de amostra seria necessário para obter uma amplitude do intervalo de 50 ppm , para um nível de confiança de 95 \% ?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (sem qualquer suposição extra):
  • Dados da amostra de n=50 cozinhas:
    • média amostral do nível de \mathrm{CO}_2: \bar{x}=654,16 (ppm).
    • desvio padrão amostral: s=164,43 (ppm).
  • Perguntas:
    • (a) Calcular e interpretar um intervalo de 95\% de confiança bilateral para a média populacional verdadeira do nível de \mathrm{CO}_2.
    • (b) Supondo que, antes da coleta, os pesquisadores tenham estimado grosseiramente s=175. Qual o tamanho de amostra necessário para que a amplitude do intervalo de confiança seja 50 ppm para nível de confiança 95\%?
  • Observações práticas que usarei mais adiante (já dadas pelo enunciado): amplitude do intervalo é a largura total; se pedirem amplitude 50 ppm, isso implica que a meia-amplitude (erro máximo tolerado) será E=25 ppm.

Passo 2

Explicando o que é um intervalo de confiança e qual fórmula usar.
  • Um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu quer dizer: construir um intervalo a partir da amostra tal que, em repetidas amostragens, aproximadamente 95\% desses intervalos conteriam o verdadeiro \mu. Não é afirmar que há 95\% de probabilidade sobre um \mu fixo — é uma interpretação de procedimento.
  • Quando a variância populacional é desconhecida (como aqui) e usamos o desvio amostral s, a construção exata usa a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. A fórmula do intervalo bilateral é:
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{x} é a média amostral,
  • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade (para 95\% de confiança, \alpha=0,05),
  • s é o desvio padrão amostral,
  • n é o tamanho da amostra,
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (standard error).

Passo 3

Aplicando a fórmula para o item (a): cálculo do erro padrão e do valor crítico t.
  • Graus de liberdade: n-1=50-1=49.
  • Valor crítico: t_{0,975,\,49}\approx 2,009 (obtido em tabela de t ou calculadora estatística).
  • Erro padrão (standard error):
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{164,43}{\sqrt{50}}.
Agora calculo numericamente \sqrt{50} e a SE:
\sqrt{50}\approx 7,071, \qquad \text{SE}\approx\frac{164,43}{7,071}\approx 23,27\\ (\text{ppm}).

Passo 4

Cálculo da meia-amplitude (margem de erro) e do intervalo de confiança.
  • Meia-amplitude (margem de erro):
M = t_{0,975,\,49}\cdot\text{SE}\approx 2,009\times 23,27\approx 46,75\\ (\text{ppm}).
  • Intervalo de confiança:
\bar{x}-M \approx 654,16-46,75=607,41, \qquad \bar{x}+M \approx 654,16+46,75=700,91.
Portanto o intervalo de 95\% é aproximadamente [607,41,\\\ 700,91] (ppm).

Passo 5

Interpretação do item (a) — linguagem prática e incentivadora.
  • Interpretação: com os dados da amostra, um intervalo de 95\% de confiança para a média real de \mathrm{CO}_2 na população é aproximadamente de 607,41 ppm até 700,91 ppm. Isso significa que o procedimento usado (coletar amostras de tamanho 50 e construir intervalos assim) captura o verdadeiro valor médio em cerca de 95\% das repetições hipotéticas do processo amostral. Em termos práticos: é razoável afirmar que o verdadeiro nível médio está nesse intervalo, dado os dados e as suposições (amostra representativa e distribuição adequada/CLT).

Passo 6

Agora o item (b): como determinar n para uma amplitude desejada de 50 ppm (logo E=25 ppm).
  • Quando planejamos o tamanho da amostra e usamos uma estimativa prévia de s (aqui s suposto =175), a fórmula usual para a meia-amplitude E (erro máximo aceitável) usando a aproximação normal é:
E = z_{1-\alpha/2}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}
Isolando n:
n=\left(\frac{z_{1-\alpha/2}\cdot s}{E}\right)^2.
Explicação da escolha do z em vez de t: no planejamento de amostra, n ainda é desconhecido, e costuma-se usar o quantil normal z com a estimativa de s (uma prática padrão). Usar t exigiria já saber n para o quantil, o que seria circular; a diferença é pequena quando n esperado é moderado/grande.

Passo 7

Cálculo numérico do item (b).
  • Para 95\% de confiança, z_{0,975}=1,96.
  • Substituindo s=175 e E=25:
n=\left(\frac{1,96\times 175}{25}\right)^2.
Calculo interno:
\frac{1,96\times 175}{25}=1,96\times 7=13,72, \qquad n=13,72^2\approx 188,36.
  • Como o tamanho de amostra deve ser inteiro e para garantir que a metade da amplitude não exceda E, arredonda-se para cima:
n=189.

Passo 8

Comentário final curto e motivador.
  • Resultado prático: com a variabilidade suposta s=175, seriam necessárias cerca de 189 cozinhas para que o intervalo de 95\% tenha largura total 50 ppm. Boa notícia: já sabe como montar intervalos e calcular n — com calma e passo a passo dá pra fazer na prova.

Resposta

(a) [607,41,\\\ 700,91] (ppm)
(b) n=189

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