Uma árvore de aço de seção coroa circular com diâmetro interno d=20,32 cm e diâmetro exterior D=30,48 cm, deve ser substituída por uma árvore circular sólida feita de uma liga. Se a tensão máxima de cisalhamento tem o mesmo valor nas duas árvores, calcular o diâmetro da árvore sólida e a relação entre as rigidezes torcionais G J. Considerar G aço =2,4 G liga ç.
Qual situação terá maior ângulo de torção?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para substituir uma árvore de aço oca por uma sólida de liga, mantendo a mesma tensão máxima de cisalhamento. Vamos precisar entender conceitos de tensão de cisalhamento, área polar da seção (para torção) e rigidez torcional. Basicamente, vamos calcular o diâmetro da nova árvore sólida e ver a relação entre as rigidezes torcionais das duas árvores. Também vamos descobrir qual delas terá maior ângulo de torção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tensão de cisalhamento máxima taumax em uma árvore circular é dada por:
taumax = T cdot cJ
onde:
  • T é o torque aplicado,
  • c é o raio externo,
  • J é o momento polar de inércia da seção.
Como a tensão de cisalhamento é a mesma nas duas árvores, podemos igualar as expressões para a árvore oca e a sólida.

Passo 3

Para a árvore oca (de aço), o momento polar de inércia Jaçoç é:
Jaço = pi2 ( D^4 - d^432 ) ç
Mas simplificando, para uma seção circular oca:
Jaço = pi32 (D^4 - d^4) ç
Onde:
  • D = 30,48 , cm (diâmetro externo),
  • d = 20,32 , cm (diâmetro interno).

Passo 4

Para a árvore sólida (de liga), o momento polar de inércia Jliga é:
Jliga = pi32 cdot Dliga^4
Aqui, Dliga é o diâmetro que queremos encontrar.

Passo 5

Igualando as tensões de cisalhamento:
T cdot D2Jaço = T cdot Dliga2Jliga ç
Como T e os fatores comuns cancelam, temos:
DJaço = DligaJliga ç

Passo 6

Substituindo Jaçoç e Jliga:
Dpi32 (D^4 - d^4) = Dligapi32 Dliga^4
Podemos simplificar pi32 de ambos os lados:
DD^4 - d^4 = DligaDliga^4

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por (D^4 - d^4) Dliga^4:
D cdot Dliga^4 = Dliga cdot (D^4 - d^4)
Dividindo ambos os lados por Dliga:
D cdot Dliga^3 = D^4 - d^4
Então:
Dliga^3 = D^4 - d^4D

Passo 8

Calculando D^4 - d^4:
D = 30,48 , cm, d = 20,32 , cm
D^4 = 30,48^4 approx 862,867 , cm^4
d^4 = 20,32^4 approx 169,655 , cm^4
Então:
D^4 - d^4 approx 862,867 - 169,655 = 693,212 , cm^4

Passo 9

Agora:
Dliga^3 = 693,21230,48 approx 22,760 , cm^3
Calculando Dliga:
Dliga = raiz[3]22,760 approx 2,83 , cm

Passo 10

Agora, vamos calcular a relação entre as rigidezes torcionais GJ. A rigidez torcional é dada por:
GJ
Como Gaço = 2,4 , Gligaç, temos:
GJaçoGJliga = 2,4 cdot JaçoGliga cdot Jliga = 2,4 cdot JaçoJliga ççç

Passo 11

Sabemos que:
Jaço = pi32 (D^4 - d^4) approx pi32 cdot 693,212 approx 68,1 , cm^4 ç
Jliga = pi32 Dliga^4 = pi32 cdot 2,83^4 approx 0,9 , cm^4
Então:
JaçoJliga approx 68,10,9 approx 75,7 ç
Portanto:
GJaçoGJliga = 2,4 cdot 75,7 approx 181,7 ç

Resposta

O diâmetro da árvore sólida de liga é aproximadamente 2,83 cm. A relação entre as rigidezes torcionais é $ GJ_{aço} \approx 181,7 \times GJ_{liga} $. Além disso, a árvore de liga sólida terá um menor ângulo de torção comparada à árvore de aço oca.

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