Uma árvore de aço de seção coroa circular com diâmetro interno d=20,32 cm e diâmetro exterior
, deve ser substituída por uma árvore circular sólida feita de uma liga. Se a tensão máxima de cisalhamento tem o mesmo valor nas duas árvores, calcular o diâmetro da árvore sólida e a relação entre as rigidezes torcionais
. Considerar
.
Qual situação terá maior ângulo de torção?
Qual situação terá maior ângulo de torção?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para substituir uma árvore de aço oca por uma sólida de liga, mantendo a mesma tensão máxima de cisalhamento. Vamos precisar entender conceitos de tensão de cisalhamento, área polar da seção (para torção) e rigidez torcional. Basicamente, vamos calcular o diâmetro da nova árvore sólida e ver a relação entre as rigidezes torcionais das duas árvores. Também vamos descobrir qual delas terá maior ângulo de torção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a tensão de cisalhamento máxima
em uma árvore circular é dada por:
onde:
-
é o torque aplicado, -
é o raio externo, -
é o momento polar de inércia da seção.
Como a tensão de cisalhamento é a mesma nas duas árvores, podemos igualar as expressões para a árvore oca e a sólida.
Passo 3
Para a árvore oca (de aço), o momento polar de inércia
é:
Mas simplificando, para uma seção circular oca:
Onde:
-
(diâmetro externo), -
(diâmetro interno).
Passo 4
Para a árvore sólida (de liga), o momento polar de inércia
é:
Aqui,
é o diâmetro que queremos encontrar.
Passo 5
Igualando as tensões de cisalhamento:
Como
e os fatores comuns cancelam, temos:
Passo 6
Substituindo
e
:
Podemos simplificar
de ambos os lados:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Então:
Passo 8
Calculando
:
Então:
Passo 9
Agora:
Calculando
:
Passo 10
Agora, vamos calcular a relação entre as rigidezes torcionais
. A rigidez torcional é dada por:
Como
, temos:
Passo 11
Sabemos que:
Então:
Portanto:
Resposta
O diâmetro da árvore sólida de liga é aproximadamente 2,83 cm. A relação entre as rigidezes torcionais é $ GJ_{aço} \approx 181,7 \times GJ_{liga} $. Além disso, a árvore de liga sólida terá um menor ângulo de torção comparada à árvore de aço oca.