Uma arvore de transmissão cilíndrica de diâmetro d transmite um momento M= 90 N.m. O ângulo de torção unitário é limitado a 0,25 grau / m. O material da arvore tem tensão de cisalhamento no escoamento igual a 7,5 MPa e Um módulo transversal igual a 8,5*104 MPa.
a) Determinar o diâmetro mínimo da arvore?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma árvore de transmissão cilíndrica com algumas características e queremos descobrir qual é o diâmetro mínimo que ela deve ter para transmitir um momento de 90 N.m, sem exceder certos limites de torção e tensão. Vamos usar conceitos de Mecânica dos Materiais, especificamente sobre Torsão em Árvores Circulares. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que relacionam torque, tensão de cisalhamento, módulo de torção e diâmetro da árvore.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o torque aplicado ($ M M ã \tau $) na árvore. A fórmula que conecta esses valores é:
tau
Onde:
  • $ \tau $ é a tensão de cisalhamento,
  • $ M $ é o torque aplicado,
  • $ c $ é o raio da árvore,
  • $ J $ é o momento polar de inércia da seção transversal.
Como a árvore é cilíndrica, o momento polar de inércia ($ J $) para um cilindro sólido é dado por:
tau = M cdot cJ
Substituindo $ c $ por $ \frac{d}{2} $ na primeira equação, temos:
tau

Passo 3

Agora, queremos garantir que a tensão de cisalhamento não ultrapasse o limite de escoamento do material, que é $ 7,5 , MPa $. Então, igualamos a expressão da tensão de cisalhamento ao limite:
7,5 , MPa
Isolando $ d $:
16 cdot Mpi cdot d^3 = tauescoamento
d

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
  • $ M = 90 , N.m $
  • $ \tau_{escoamento} = 7,5 , MPa = 7,5 \times 10^6 , N/m^2 $
M = 90 , Nm

Passo 5

Calculando o valor dentro da raiz cúbica:
16 cdot 90pi cdot 7,5 times 10^6 = 1440pi cdot 7,5 times 10^6 approx 144023,5619449 times 10^6 approx 6,11 times 10^-5 , m^3
Então,
d = ( 6,11 times 10^-5 )^13 approx 0,0393 , m = 39,3 , mm

Passo 6

Agora, precisamos verificar se esse diâmetro atende à limitação do ângulo de torção unitário de $ 0,25 , graus/m 0,25 , graus/m óâçã \theta $) é:
theta
Onde:
  • $ L $ é o comprimento da árvore,
  • $ G $ é o módulo de torção.
Como queremos o ângulo por metro ($ \theta/L $), podemos reescrever:
theta = M cdot LJ cdot G
Substituindo $ J = \frac{\pi \cdot d^4}{32} $:
L
Isolando $ d $:
G
theta/L

Passo 7

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
  • $ M = 90 , N.m $
  • $ G = 8,5 \times 10^4 , MPa = 8,5 \times 10^10 , N/m^2 $
  • $ \theta/L = 0,25 , graus/m = 0,25 \times \frac{\pi}{180} , rad/m \approx 0,00436 , rad/m $
M = 90 , Nm

Passo 8

Calculando o valor dentro da raiz quártica:
32 cdot 90pi cdot 8,5 times 10^10 cdot 0,00436 approx 2880pi cdot 3,706 times 10^8 approx 28801,166 times 10^9 approx 2,47 times 10^-6 , m^4
Então,
d = ( 2,47 times 10^-6 )^14 approx 0,0135 , m = 13,5 , mm

Passo 9

Comparando os dois diâmetros calculados:
  • Pela tensão de cisalhamento: $ 39,3 , mm $
  • Pelo ângulo de torção: $ 13,5 , mm $
Para garantir que ambas as condições sejam atendidas, devemos escolher o diâmetro maior, ou seja, $ 39,3 , mm $.

Resposta

O diâmetro mínimo da árvore deve ser de 39,3 milímetros.

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