Uma arvore de transmissão cilíndrica de diâmetro d transmite um momento
90 N.m. O ângulo de torção unitário é limitado a
. O material da arvore tem tensão de cisalhamento no escoamento igual a
e Um módulo transversal igual a 8,5*104 MPa.
a) Determinar o diâmetro mínimo da arvore?
a) Determinar o diâmetro mínimo da arvore?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma árvore de transmissão cilíndrica com algumas características e queremos descobrir qual é o diâmetro mínimo que ela deve ter para transmitir um momento de 90 N.m, sem exceder certos limites de torção e tensão. Vamos usar conceitos de Mecânica dos Materiais, especificamente sobre Torsão em Árvores Circulares. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que relacionam torque, tensão de cisalhamento, módulo de torção e diâmetro da árvore.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o torque aplicado ($ M
\tau $) na árvore. A fórmula que conecta esses valores é:
Onde:
- $ \tau $ é a tensão de cisalhamento,
- $ M $ é o torque aplicado,
- $ c $ é o raio da árvore,
- $ J $ é o momento polar de inércia da seção transversal.
Como a árvore é cilíndrica, o momento polar de inércia ($ J $) para um cilindro sólido é dado por:
Substituindo $ c $ por $ \frac{d}{2} $ na primeira equação, temos:
Passo 3
Agora, queremos garantir que a tensão de cisalhamento não ultrapasse o limite de escoamento do material, que é $ 7,5 , MPa $. Então, igualamos a expressão da tensão de cisalhamento ao limite:
Isolando $ d $:
Passo 4
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
- $ M = 90 , N.m $
- $ \tau_{escoamento} = 7,5 , MPa = 7,5 \times 10^6 , N/m^2 $
Passo 5
Calculando o valor dentro da raiz cúbica:
Então,
Passo 6
Agora, precisamos verificar se esse diâmetro atende à limitação do ângulo de torção unitário de $ 0,25 , graus/m
\theta $) é:
Onde:
- $ L $ é o comprimento da árvore,
- $ G $ é o módulo de torção.
Como queremos o ângulo por metro ($ \theta/L $), podemos reescrever:
Substituindo $ J = \frac{\pi \cdot d^4}{32} $:
Isolando $ d $:
Passo 7
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
- $ M = 90 , N.m $
- $ G = 8,5 \times 10^4 , MPa = 8,5 \times 10^10 , N/m^2 $
- $ \theta/L = 0,25 , graus/m = 0,25 \times \frac{\pi}{180} , rad/m \approx 0,00436 , rad/m $
Passo 8
Calculando o valor dentro da raiz quártica:
Então,
Passo 9
Comparando os dois diâmetros calculados:
- Pela tensão de cisalhamento: $ 39,3 , mm $
- Pelo ângulo de torção: $ 13,5 , mm $
Para garantir que ambas as condições sejam atendidas, devemos escolher o diâmetro maior, ou seja, $ 39,3 , mm $.
Resposta
O diâmetro mínimo da árvore deve ser de 39,3 milímetros.