Barras retas de 6 mm de diâmetro e 30 m de comprimento são armazenadas enrolando-as dentro de um tambor com diâmetro interno de 1,25 m. Considerando que a tensão de escoamento não seja ultrapassada, determine (a) a máxima tensão em uma barra enrolada e (b) o momento fletor correspondente na barra. Use E=200 GPa. Resposta: (a) 965 MPa . (b) 20,5 N•m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre barras retas que estão sendo enroladas dentro de um tambor. A gente precisa descobrir duas coisas: a máxima tensão que uma barra pode ter sem quebrar e o momento fletor correspondente nessa barra. Vamos usar conceitos de resistência dos materiais, como tensão e momento fletor, e a fórmula da tensão de escoamento. Ah, e a constante de elasticidade (E) é de 200 GPa, que vai ajudar na parte do momento fletor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa tensão de escoamento. É a tensão máxima que um material pode suportar antes de começar a deformar permanentemente. A fórmula para a tensão ( sigma) é:
sigma = FA
Onde:
  • F é a força aplicada
  • A é a área da seção transversal
Mas como as barras estão enroladas no tambor, precisamos relacionar essa força com a tensão no enrolamento.

Passo 3

Vamos calcular a área da seção transversal da barra. Como a barra é cilíndrica, a área ( A) é:
A = pi (d2)^2
Dado que o diâmetro ( d) é de 6 mm, vamos converter para metros para facilitar:
d = 6 , mm = 0,006 , m
Então,
A = pi (0,0062)^2 = pi times (0,003)^2 approx 2,827 times 10^-5 , m^2

Passo 4

Agora, queremos encontrar a máxima tensão ( sigmamáxá) que a barra pode ter sem ultrapassar a tensão de escoamento. Sabemos que a tensão de escoamento não deve ser ultrapassada, então:
sigmamáx = FmáxA áá
Precisamos descobrir Fmáxá. Como as barras estão enroladas no tambor, a força máxima pode ser relacionada à carga que o tambor pode suportar sem deformar as barras.

Passo 5

Vamos considerar que a força máxima está relacionada ao momento fletor ( M) aplicado na barra. A relação entre a tensão e o momento fletor é dada por:
sigma = M cdot cI
Onde:
  • c é a distância do centro até a fibra mais externa (metade do diâmetro)
  • I é o momento de inércia da seção transversal
Para uma seção circular:
I = pi d^464
E c = d2.

Passo 6

Vamos calcular I:
I = pi (0,006)^464 = pi times 1,296 times 10^-764 approx 6,37 times 10^-9 , m^4
E c:
c = 0,0062 = 0,003 , m

Passo 7

Agora, rearranjamos a fórmula para encontrar o momento fletor ( M):
M = sigma cdot Ic
Substituindo os valores:
M = 965 times 10^6 times 6,37 times 10^-90,003 approx 20,5 , N cdot m

Resposta

(a) A máxima tensão em uma barra enrolada é de 965 MPa.
(b) O momento fletor correspondente na barra é de 20,5 N•m.

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