Uma arvore de transmissão cilíndrica de diâmetro d transmite um momento M= 90 N.m. O ângulo de torção unitário é limitado a 0,25 grau / m. O material da arvore tem tensão de cisalhamento no escoamento igual a 7,5 MPa e Um módulo transversal igual a 8,5*104 MPa.
c) Qual o valor do coeficiente de segurança da arvore?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma árvore de transmissão cilíndrica que está transmitindo um momento de torque de $ M = 90 , N.m $. A ideia é descobrir qual é o coeficiente de segurança dessa árvore. Para isso, vamos usar conceitos de torsão em cilindros, como o ângulo de torção, tensão de cisalhamento e módulo transversal. Precisamos calcular a tensão real na árvore e comparar com a tensão de escoamento do material para achar o coeficiente de segurança.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o ângulo de torção unitário de $ 0,25 , graus/m $ para radianos por metro, porque as fórmulas de torsão trabalham com radianos. Sabemos que $ 1 , grau = \frac{\pi}{180} , radianos $, então:
0,25 , graus/m

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula do ângulo de torção para uma árvore cilíndrica:
theta = M cdot LG cdot J
Como o ângulo de torção é dado por metro, podemos considerar $ L = 1 $ metro para simplificar. Assim, a fórmula fica:
L = 1
Aqui, $ G $ é o módulo transversal fornecido, que é $ G = 8,5 \times 10^4 , MPa = 8,5 \times 10^{10} , Pa $.

Passo 4

Precisamos encontrar o momento polar de inércia $ J $ para uma seção cilíndrica, que é dado por:
J
Vamos substituir $ J $ na fórmula do ângulo de torção:
J = pi cdot d^432

Passo 5

Agora, vamos isolar $ d $ na equação para encontrar o diâmetro da árvore:
d
Substituindo os valores:
d^4 = 32 cdot MG cdot pi cdot theta
Calculando isso:
d^4 = 32 times 908,5 times 10^10 times pi times 0,00436
Agora, extraímos a quarta raiz para encontrar $ d $:
d^4 approx 28801,167 times 10^9 approx 2,47 times 10^-6 , m^4

Passo 6

Com o diâmetro $ d $ conhecido, vamos calcular a tensão de cisalhamento $ \tau $ na árvore usando a fórmula:
d
Onde $ c = \frac{d}{2} = 12,5 , mm $ e $ J = \frac{\pi \cdot d^4}{32} $:
tau
Calculando:
tau = M cdot cJ

Passo 7

Finalmente, o coeficiente de segurança $ CS $ é a razão entre a tensão de escoamento $ \tau_Y $ e a tensão real $ \tau $:
CS

Resposta

O coeficiente de segurança da árvore é aproximadamente 3,27.

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