Uma arvore de transmissão cilíndrica de diâmetro d transmite um momento
90 N.m. O ângulo de torção unitário é limitado a
. O material da arvore tem tensão de cisalhamento no escoamento igual a
e Um módulo transversal igual a 8,5*104 MPa.
c) Qual o valor do coeficiente de segurança da arvore?
c) Qual o valor do coeficiente de segurança da arvore?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma árvore de transmissão cilíndrica que está transmitindo um momento de torque de $ M = 90 , N.m $. A ideia é descobrir qual é o coeficiente de segurança dessa árvore. Para isso, vamos usar conceitos de torsão em cilindros, como o ângulo de torção, tensão de cisalhamento e módulo transversal. Precisamos calcular a tensão real na árvore e comparar com a tensão de escoamento do material para achar o coeficiente de segurança.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o ângulo de torção unitário de $ 0,25 , graus/m $ para radianos por metro, porque as fórmulas de torsão trabalham com radianos. Sabemos que $ 1 , grau = \frac{\pi}{180} , radianos $, então:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula do ângulo de torção para uma árvore cilíndrica:
Como o ângulo de torção é dado por metro, podemos considerar $ L = 1 $ metro para simplificar. Assim, a fórmula fica:
Aqui, $ G $ é o módulo transversal fornecido, que é $ G = 8,5 \times 10^4 , MPa = 8,5 \times 10^{10} , Pa $.
Passo 4
Precisamos encontrar o momento polar de inércia $ J $ para uma seção cilíndrica, que é dado por:
Vamos substituir $ J $ na fórmula do ângulo de torção:
Passo 5
Agora, vamos isolar $ d $ na equação para encontrar o diâmetro da árvore:
Substituindo os valores:
Calculando isso:
Agora, extraímos a quarta raiz para encontrar $ d $:
Passo 6
Com o diâmetro $ d $ conhecido, vamos calcular a tensão de cisalhamento $ \tau $ na árvore usando a fórmula:
Onde $ c = \frac{d}{2} = 12,5 , mm $ e $ J = \frac{\pi \cdot d^4}{32} $:
Calculando:
Passo 7
Finalmente, o coeficiente de segurança $ CS $ é a razão entre a tensão de escoamento $ \tau_Y $ e a tensão real $ \tau $:
Resposta
O coeficiente de segurança da árvore é aproximadamente 3,27.