Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado.
a) f(x)=x^3-3 x^2+1, [-1,3]
b) f(x)= xx^2+1, [-2,2]
c) f(x)=x-2 cos x, [- pi, pi]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar os valores máximo e mínimo absoluto da função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1 $ no intervalo f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para identificar os pontos críticos e, em seguida, comparar os valores da função nesses pontos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $ para identificar os pontos críticos. A derivada nos ajuda a saber onde a função tem inclinação horizontal, ou seja, onde pode haver máximos ou mínimos locais.
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde $ f’(x) = 0 $, pois esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos.
f'(x) = 0
Isso nos dá $ x = 0 $ e $ x = 2 $.

Passo 4

Vamos verificar se esses pontos estão dentro do intervalo [-1, 3]. Tanto $ x = 0 $ quanto $ x = 2 $ estão dentro do intervalo, então precisamos avaliar a função nesses pontos e também nas extremidades do intervalo.

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores de $ f(x) $ nos pontos críticos e nas extremidades:
  • Para $ x = -1 $:
f(x)
  • Para $ x = 0 $:
x = -1
  • Para $ x = 2 $:
f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 1 = -1 - 3 + 1 = -3
  • Para $ x = 3 $:
x = 0

Resposta

No intervalo [-1, 3], a função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1 $ atinge seu valor máximo absoluto de f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 nos pontos 1 e x = 0, e seu valor mínimo absoluto de x = 3 nos pontos -3 e x = -1.

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