Uma arvore, que pode ser modelada como um cilindro, possui uma altura de 8 m e diâmetro \mathrm{d}=45 \mathrm{~cm}. Calcule qual deve ser o diâmetro da mesma espécie de arvore com altura de 16 m .

Passo 1

O enunciado dá uma árvore modelada como um cilindro com as seguintes informações: altura inicial h_1 = 8\\ \mathrm{m} e diâmetro correspondente \\ d_1 = 45\\ \mathrm{cm}. Pergunta qual deve ser o diâmetro \\ d_2 de uma árvore da mesma espécie com altura h_2 = 16\\ \mathrm{m}. Observações úteis extraídas do enunciado: temos duas árvores da mesma espécie (logo esperamos que as formas sejam geometricamente proporcionais) e a árvore é modelada como um cilindro. Convertendo unidades para facilitar comparações, \\ d_1 = 45\\ \mathrm{cm} = 0,45\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entendendo a ideia de proporcionalidade entre figuras geometricamente semelhantes (explicação didática): quando duas figuras sólidas são geometricamente semelhantes, todas as medidas lineares correspondentes (como alturas, raios, diâmetros, comprimentos) mudam na mesma razão. Essa razão linear eu chamo de fator de escala k. Se a altura da figura é multiplicada por k, então qualquer comprimento linear correspondente (por exemplo o diâmetro) também é multiplicado por k. Isso acontece porque sem alongamento ou deformação local, a forma inteira cresce de forma homogênea.

Passo 3

Calcular o fator de escala entre as alturas: como as alturas são correspondentes, o fator de escala linear é
k=\frac{h_2}{h_1}.
Substituindo os valores dados,
k=\frac{16}{8}=2.
Interpretação: a segunda árvore é duas vezes mais alta que a primeira, portanto, se são geometricamente semelhantes, todas as medidas lineares também serão 2 vezes maiores.

Passo 4

Aplicar o fator de escala ao diâmetro (diâmetro é uma medida linear): a relação entre os diâmetros é
d_2=k\cdot d_1.
Usando k=2 e d_1=0,45\\ \mathrm{m},
d_2=2\cdot 0,45\\ \mathrm{m}=0,90\\ \mathrm{m}.
Converter o resultado para a unidade pedida originalmente (o enunciado deu o diâmetro inicial em centímetros, então é natural responder em centímetros):
0,90\\ \mathrm{m}=90\\ \mathrm{cm}.
Pequeno reforço: sempre que dobramos uma dimensão linear (altura), o diâmetro também dobra, porque estamos escalando a figura mantendo a mesma forma.

Resposta

90\\ \mathrm{cm}

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