Uma arvore, que pode ser modelada como um cilindro, possui uma altura de 8 m e diâmetro
. Calcule qual deve ser o diâmetro da mesma espécie de arvore com altura de 16 m .
Passo 1
O enunciado dá uma árvore modelada como um cilindro com as seguintes informações: altura inicial
e diâmetro correspondente
. Pergunta qual deve ser o diâmetro
de uma árvore da mesma espécie com altura
. Observações úteis extraídas do enunciado: temos duas árvores da mesma espécie (logo esperamos que as formas sejam geometricamente proporcionais) e a árvore é modelada como um cilindro. Convertendo unidades para facilitar comparações,
.
Passo 2
Entendendo a ideia de proporcionalidade entre figuras geometricamente semelhantes (explicação didática): quando duas figuras sólidas são geometricamente semelhantes, todas as medidas lineares correspondentes (como alturas, raios, diâmetros, comprimentos) mudam na mesma razão. Essa razão linear eu chamo de fator de escala
. Se a altura da figura é multiplicada por
, então qualquer comprimento linear correspondente (por exemplo o diâmetro) também é multiplicado por
. Isso acontece porque sem alongamento ou deformação local, a forma inteira cresce de forma homogênea.
Passo 3
Calcular o fator de escala entre as alturas: como as alturas são correspondentes, o fator de escala linear é
Substituindo os valores dados,
Interpretação: a segunda árvore é duas vezes mais alta que a primeira, portanto, se são geometricamente semelhantes, todas as medidas lineares também serão 2 vezes maiores.
Passo 4
Aplicar o fator de escala ao diâmetro (diâmetro é uma medida linear): a relação entre os diâmetros é
Usando
e
,
Converter o resultado para a unidade pedida originalmente (o enunciado deu o diâmetro inicial em centímetros, então é natural responder em centímetros):
Pequeno reforço: sempre que dobramos uma dimensão linear (altura), o diâmetro também dobra, porque estamos escalando a figura mantendo a mesma forma.