Qual é a relação ( f^{\prime} / f ) entre a velocidade de caminhada (frequência de passos) de dois humanos com alturas h e h’, sendo h’ > h. Essa relação ( f^{\prime} / f ) é maior ou menor que um?

Passo 1

O que o problema pede: achar a razão entre as frequências de passos de duas pessoas (cadências) e dizer se essa razão é maior ou menor que 1.
Informações dadas: duas alturas \;h\; e \;h'\; com \;h'>h\;. Denotamos por \;f\; a frequência de passos da pessoa de altura \;h\; e por \;f'\; a frequência da pessoa de altura \;h'\;. Não há outros dados numéricos; devemos relacionar \;f'\!/\!f\; em função de \;h\; e \;h'.

Passo 2

Ideia física que vamos usar (explicada devagar): o balanço da perna ao caminhar pode ser tratado, em primeira aproximação, como um pêndulo (ou pêndulo invertido). O tempo característico de oscilação de um pêndulo depende só do comprimento do pêndulo e da gravidade. Essa é uma boa aproximação para entender como a altura (via comprimento da perna) influencia a frequência de passos sem precisar de muitos detalhes complicados da biomecânica. Vou explicar a fórmula do pêndulo e por que ela vale para escalar frequências de caminhada.

Passo 3

Fórmula do pêndulo simples (passo-a-passo): para um pêndulo de comprimento \;L\; em pequena oscilação, o período (tempo de uma oscilação) é
T \;=\; 2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}},
onde \;g\; é a aceleração da gravidade (aprox. \;9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}). A frequência (número de oscilações por segundo) é o inverso do período, logo
f_{\text{pend}} \;=\; \dfrac{1}{T} \;=\; \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{L}}.
Aqui: \;L\; é o comprimento relevante (no nosso caso, proporcional ao comprimento da perna), \;g\; é fixo e \;2\pi\; é apenas uma constante numérica. O ponto importante: a dependência com o comprimento é \;f\propto \sqrt{1/L}\;.

Passo 4

Conectar comprimento da perna com a altura: para humanos geometricamente semelhantes, o comprimento da perna \;L\; é proporcional à altura \;h\;. Ou seja, existe uma constante adimensional \;k\; tal que
L = k\,h,
onde \;k\; é aproximadamente constante entre pessoas (não precisamos do valor exato, só da proporcionalidade). Substituindo na dependência da frequência temos
f \;\propto\; \sqrt{\dfrac{1}{L}} \;=\; \sqrt{\dfrac{1}{k\,h}} \;=\; \dfrac{1}{\sqrt{k}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{h}}.
Portanto, a frequência de passos escala como o inverso da raiz quadrada da altura:
f \propto \dfrac{1}{\sqrt{h}}.

Passo 5

Calcular a razão \;f'\!/\!f\;: usando a proporção \;f\propto 1/\sqrt{h}\; para cada pessoa,
f' \;=\; C\cdot \dfrac{1}{\sqrt{h'}},\qquad f \;=\; C\cdot \dfrac{1}{\sqrt{h}},
onde \;C\; é a mesma constante (contém \;1/\sqrt{k} e fatores numéricos que cancelam na razão). Assim
\boxed{\dfrac{f'}{f} \;=\; \sqrt{\dfrac{h}{h'}}.}
Interpretação do sinal: como \;h'>h\;, temos \;h/h'<1\; e portanto \;\sqrt{h/h'}<1\;. Logo \;f'\!/\!f<1\;: a pessoa mais alta tem frequência de passos menor (faz menos passos por segundo) do que a pessoa mais baixa, mantendo padrões geométrico-dinâmicos semelhantes.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, só para intuir): se \;h=1{,}60\\ \mathrm{m} e \;h'=1{,}80\\ \mathrm{m}, então
\dfrac{f'}{f} = \sqrt{\dfrac{1{,}60}{1{,}80}} \approx \sqrt{0{,}8889}\approx 0{,}943,
ou seja, a pessoa mais alta teria cerca de 94{,}3\% da frequência de passos da pessoa mais baixa.

Resposta

\dfrac{f'}{f} = \sqrt{\dfrac{h}{h'}}\n
Menor que 1 (pois h'>h).

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