Qual é a relação (
) entre a velocidade de caminhada (frequência de passos) de dois humanos com alturas h e h’, sendo h’ > h. Essa relação (
) é maior ou menor que um?
Passo 1
O que o problema pede: achar a razão entre as frequências de passos de duas pessoas (cadências) e dizer se essa razão é maior ou menor que 1.
Informações dadas: duas alturas e
com
. Denotamos por
a frequência de passos da pessoa de altura
e por
a frequência da pessoa de altura
. Não há outros dados numéricos; devemos relacionar
em função de
e
.
Informações dadas: duas alturas
Passo 2
Ideia física que vamos usar (explicada devagar): o balanço da perna ao caminhar pode ser tratado, em primeira aproximação, como um pêndulo (ou pêndulo invertido). O tempo característico de oscilação de um pêndulo depende só do comprimento do pêndulo e da gravidade. Essa é uma boa aproximação para entender como a altura (via comprimento da perna) influencia a frequência de passos sem precisar de muitos detalhes complicados da biomecânica. Vou explicar a fórmula do pêndulo e por que ela vale para escalar frequências de caminhada.
Passo 3
Fórmula do pêndulo simples (passo-a-passo): para um pêndulo de comprimento
em pequena oscilação, o período (tempo de uma oscilação) é
onde
é a aceleração da gravidade (aprox.
). A frequência (número de oscilações por segundo) é o inverso do período, logo
Aqui:
é o comprimento relevante (no nosso caso, proporcional ao comprimento da perna),
é fixo e
é apenas uma constante numérica. O ponto importante: a dependência com o comprimento é
.
Passo 4
Conectar comprimento da perna com a altura: para humanos geometricamente semelhantes, o comprimento da perna
é proporcional à altura
. Ou seja, existe uma constante adimensional
tal que
onde
é aproximadamente constante entre pessoas (não precisamos do valor exato, só da proporcionalidade). Substituindo na dependência da frequência temos
Portanto, a frequência de passos escala como o inverso da raiz quadrada da altura:
Passo 5
Calcular a razão
: usando a proporção
para cada pessoa,
onde
é a mesma constante (contém
e fatores numéricos que cancelam na razão). Assim
Interpretação do sinal: como
, temos
e portanto
. Logo
: a pessoa mais alta tem frequência de passos menor (faz menos passos por segundo) do que a pessoa mais baixa, mantendo padrões geométrico-dinâmicos semelhantes.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, só para intuir): se
e
, então
ou seja, a pessoa mais alta teria cerca de
da frequência de passos da pessoa mais baixa.
Resposta
Menor que 1 (pois