Tomando como referência o lobo cinzento de comprimento 1,1 \mathrm{~m}, calcule o comprimento \boldsymbol{\ell}, a partir da massa M , dos animais da tabela abaixo. Com os comprimentos calculados \boldsymbol{\ell}, verifique a relação C=\frac{\ell}{d^{2 / 3}} para cada animal. Normalmente C aumenta ligeiramente com o aumento da massa.
Animal M=Massa (kg) \boldsymbol{d} \boldsymbol{(} \boldsymbol{m} \boldsymbol{)} \boldsymbol{\ell}(\mathbf{m}) \ell=k \cdot M^{1 / 4} \frac{\boldsymbol{\ell}}{\boldsymbol{d}^{\mathbf{2} / \mathbf{3}}}\left(\mathbf{m}^{\mathbf{1} \boldsymbol{/} \mathbf{3}}\right)
Rato do campo 0,02 0,015
Esquilo-cinzento 0,500 0,085
Lobo-cinzento 45 0,35 1,1 \mathrm{~m} 2,21
Veado-mateiro 40 0,40
Javali 300 0,55
Zebra 350 0,65
Cavalo 500 0,70
Urso-pardo 700 0,90

Passo 1

O enunciado pede que, usando o lobo-cinzento como referência (comprimento \ell=1{,}1\\ \mathrm{m} para massa M=45\\ \mathrm{kg}), a gente calcule o comprimento \ell dos outros animais pela lei
\ell = k\cdot M^{1/4},
determine a constante k a partir do lobo, e depois verifique para cada animal a relação
C=\frac{\ell}{d^{2/3}},
onde d é a altura dada na tabela. Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
  • Rato do campo: M=0{,}02\\ \mathrm{kg}, d=0{,}015\\ \mathrm{m}.
  • Esquilo-cinzento: M=0{,}500\\ \mathrm{kg}, d=0{,}085\\ \mathrm{m}.
  • Lobo-cinzento (referência): M=45\\ \mathrm{kg}, d=0{,}35\\ \mathrm{m}, \ell=1{,}1\\ \mathrm{m} (dado).
  • Veado-mateiro: M=40\\ \mathrm{kg}, d=0{,}40\\ \mathrm{m}.
  • Javali: M=300\\ \mathrm{kg}, d=0{,}55\\ \mathrm{m}.
  • Zebra: M=350\\ \mathrm{kg}, d=0{,}65\\ \mathrm{m}.
  • Cavalo: M=500\\ \mathrm{kg}, d=0{,}70\\ \mathrm{m}.
  • Urso-pardo: M=700\\ \mathrm{kg}, d=0{,}90\\ \mathrm{m}.
Objetivos práticos: (i) achar k usando o lobo; (ii) calcular \ell para cada animal; (iii) calcular C=\dfrac{\ell}{d^{2/3}} para cada animal e comentar se faz sentido (normalmente C cresce ligeiramente com M).

Passo 2

Determinar k a partir do lobo. A relação é \ell=k\cdot M^{1/4}. Para o lobo sabemos \ell=1{,}1 quando M=45. Logo
k=\frac{\ell}{M^{1/4}}=\frac{1{,}1}{45^{1/4}}.
Explicando 45^{1/4}: a quarta raiz é a raiz quadrada da raiz quadrada, isto é 45^{1/4}=\sqrt{\sqrt{45}}. Fazendo as raízes em duas etapas:
\sqrt{45}\approx 6{,}7082039,\qquad \sqrt{6{,}7082039}\approx 2{,}5900.
Portanto
45^{1/4}\approx 2{,}5900\quad\Rightarrow\quad k\approx\frac{1{,}1}{2{,}5900}\approx 0{,}42486.
Interpretação: k tem unidades de metro por \mathrm{kg}^{1/4} e será usado para calcular \ell dos outros animais.

Passo 3

Como calcular M^{1/4} e d^{2/3} na prática (sem pular etapas):
  • Para M^{1/4} faça \sqrt{M} e depois \sqrt{\sqrt{M}}. Ex.: M^{1/4}=(\sqrt{M})^{1/2}.
  • Para d^{2/3} é prático ver como (d^{1/3})^{2}: primeiro calcule a raiz cúbica de d (ou use d^{1/3} via tabelas/estimativa) e depois eleve ao quadrado.
Em provas, se não der para calcular raiz cúbica exatamente, faça aproximações por tentativa ou use logaritmos; aqui vou usar aproximações numéricas razoáveis e mostrar cada passo numérico.
Agora aplico isso animal a animal (cada passo abaixo fará: (i) cálculo de M^{1/4} por duas raízes quadradas, (ii) \ell=k\cdot M^{1/4}, (iii) cálculo de d^{2/3} e (iv) C=\ell/d^{2/3}). Vou usar k\approx 0{,}42486.

Passo 4

Usando M=45:
45^{1/4}\approx 2{,}5900,\qquad \ell=k\cdot 45^{1/4}\approx 0{,}42486\times 2{,}5900\approx 1{,}100\\ \mathrm{m},
o que recupera o dado \ell=1{,}1\\ \mathrm{m} (bom sinal). Agora d=0{,}35:
d^{1/3}=0{,}35^{1/3}\approx 0{,}7047,\qquad d^{2/3}=(0{,}7047)^2\approx 0{,}4966.
Logo
C=\frac{1{,}1}{0{,}4966}\approx 2{,}22,
que coincide com o valor dado 2{,}21 (diferença por arredondamento). Tudo consistente.

Passo 5

Massa M=0{,}02\\ \mathrm{kg}.
  • Calcule M^{1/4}:
\sqrt{M}=\sqrt{0{,}02}\approx 0{,}1414214, \qquad \sqrt{0{,}1414214}\approx 0{,}37606,
logo M^{1/4}\approx 0{,}37606.
  • comprimento \ell:
\ell = k\cdot M^{1/4}\approx 0{,}42486\times 0{,}37606\approx 0{,}1597\\ \mathrm{m}.
  • agora d=0{,}015\\ \mathrm{m}:
d^{1/3}=0{,}015^{1/3}\approx 0{,}2466,\qquad d^{2/3}\approx (0{,}2466)^2\approx 0{,}06078.
  • razão C:
C=\frac{\ell}{d^{2/3}}\approx\frac{0{,}1597}{0{,}06078}\approx 2{,}63.

Passo 6

Massa M=0{,}500\\ \mathrm{kg}.
  • Calcule M^{1/4}:
\sqrt{0{,}5}\approx 0{,}7071068,\qquad \sqrt{0{,}7071068}\approx 0{,}8408964,
logo M^{1/4}\approx 0{,}84090.
  • comprimento \ell:
\ell\approx 0{,}42486\times 0{,}8408964\approx 0{,}3571\\ \mathrm{m}.
  • d=0{,}085\\ \mathrm{m}:
d^{1/3}=0{,}085^{1/3}\approx 0{,}4395,\qquad d^{2/3}\approx (0{,}4395)^2\approx 0{,}1932.
  • razão C:
C\approx\frac{0{,}3571}{0{,}1932}\approx 1{,}85.

Passo 7

Massa M=40\\ \mathrm{kg}.
  • M^{1/4}:
\sqrt{40}\approx 6{,}3249,\qquad \sqrt{6{,}3249}\approx 2{,}5149,
logo M^{1/4}\approx 2{,}5149.
  • \ell:
\ell\approx 0{,}42486\times 2{,}5149\approx 1{,}0688\\ \mathrm{m}.
  • d=0{,}40\\ \mathrm{m}:
d^{1/3}=0{,}40^{1/3}\approx 0{,}7368,\qquad d^{2/3}\approx (0{,}7368)^2\approx 0{,}5429.
  • C:
C\approx\frac{1{,}0688}{0{,}5429}\approx 1{,}97.

Passo 8

Massa M=300\\ \mathrm{kg}.
  • M^{1/4}:
\sqrt{300}\approx 17{,}3205,\qquad \sqrt{17{,}3205}\approx 4{,}16017,
logo M^{1/4}\approx 4{,}16017.
  • \ell:
\ell\approx 0{,}42486\times 4{,}16017\approx 1{,}7689\\ \mathrm{m}.
  • d=0{,}55\\ \mathrm{m}:
d^{1/3}=0{,}55^{1/3}\approx 0{,}8194,\qquad d^{2/3}\approx (0{,}8194)^2\approx 0{,}6714.
  • C:
C\approx\frac{1{,}7689}{0{,}6714}\approx 2{,}64.

Passo 9

Massa M=350\\ \mathrm{kg}.
  • M^{1/4}:
\sqrt{350}\approx 18{,}7083,\qquad \sqrt{18{,}7083}\approx 4{,}32675,
logo M^{1/4}\approx 4{,}32675.
  • \ell:
\ell\approx 0{,}42486\times 4{,}32675\approx 1{,}8388\\ \mathrm{m}.
  • d=0{,}65\\ \mathrm{m}:
d^{1/3}=0{,}65^{1/3}\approx 0{,}8660,\qquad d^{2/3}\approx (0{,}8660)^2\approx 0{,}7499.
  • C:
C\approx\frac{1{,}8388}{0{,}7499}\approx 2{,}45.

Passo 10

Massa M=500\\ \mathrm{kg}.
  • M^{1/4}:
\sqrt{500}\approx 22{,}36068,\qquad \sqrt{22{,}36068}\approx 4{,}7287,
logo M^{1/4}\approx 4{,}7287.
  • \ell:
\ell\approx 0{,}42486\times 4{,}7287\approx 2{,}0083\\ \mathrm{m}.
  • d=0{,}70\\ \mathrm{m}:
d^{1/3}=0{,}70^{1/3}\approx 0{,}8879,\qquad d^{2/3}\approx (0{,}8879)^2\approx 0{,}7884.
  • C:
C\approx\frac{2{,}0083}{0{,}7884}\approx 2{,}55.

Passo 11

Massa M=700\\ \mathrm{kg}.
  • M^{1/4}:
\sqrt{700}\approx 26{,}4575,\qquad \sqrt{26{,}4575}\approx 5{,}1441,
logo M^{1/4}\approx 5{,}1441.
  • \ell:
\ell\approx 0{,}42486\times 5{,}1441\approx 2{,}1866\\ \mathrm{m}.
  • d=0{,}90\\ \mathrm{m}:
d^{1/3}=0{,}90^{1/3}\approx 0{,}9655,\qquad d^{2/3}\approx (0{,}9655)^2\approx 0{,}9322.
  • C:
C\approx\frac{2{,}1866}{0{,}9322}\approx 2{,}35.

Resposta

Rato do campo: \ell\approx 0{,}160\\ \mathrm{m}, C\approx 2{,}63
Esquilo-cinzento: \ell\approx 0{,}357\\ \mathrm{m}, C\approx 1{,}85
Lobo-cinzento: \ell=1{,}10\\ \mathrm{m}, C\approx 2{,}22
Veado-mateiro: \ell\approx 1{,}069\\ \mathrm{m}, C\approx 1{,}97
Javali: \ell\approx 1{,}769\\ \mathrm{m}, C\approx 2{,}64
Zebra: \ell\approx 1{,}839\\ \mathrm{m}, C\approx 2{,}45
Cavalo: \ell\approx 2{,}008\\ \mathrm{m}, C\approx 2{,}55
Urso-pardo: \ell\approx 2{,}187\\ \mathrm{m}, C\approx 2{,}35

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