Uma árvore possui uma altura de \mathrm{h}_{1}=35 \mathrm{~m} e diâmetro \mathrm{d}_{1}=75 \mathrm{~cm}. Calcule qual deve ser o diâmetro \mathrm{d}_{2} da mesma espécie de árvore ainda jovem com altura de \mathrm{h}_{2}=12 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o diâmetro d_2 de uma árvore jovem da mesma espécie, sabendo que uma árvore adulta tem altura h_1=35\\ \mathrm{m} e diâmetro d_1=75\\ \mathrm{cm}, e que a árvore jovem tem altura h_2=12\\ \mathrm{m}. Informações relevantes dadas:
h_1=35\\ \mathrm{m},\quad d_1=75\\ \mathrm{cm},\quad h_2=12\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Vamos usar a ideia de semelhança geométrica: se duas árvores da mesma espécie têm forma parecida (como dois cilindros semelhantes), os comprimentos lineares (como altura e diâmetro) variam na mesma razão. Isso significa que a razão entre diâmetro e altura é a mesma para as duas árvores. Escrevemos isso como uma proporção:
\frac{d_1}{h_1}=\frac{d_2}{h_2}.
Aqui d_1 e d_2 são os diâmetros, h_1 e h_2 são as alturas. A proporção diz que a fração (diâmetro sobre altura) é igual para ambos.

Passo 3

Isolamos d_2 na proporção para obter uma fórmula prática para calcular o diâmetro da árvore jovem:
d_2 = d_1\cdot\frac{h_2}{h_1}.
Este é apenas um rearranjo algébrico simples: multiplicamos ambos os lados por h_2.

Passo 4

Antes de calcular, verifique unidades: a razão \dfrac{h_2}{h_1} é adimensional (ambas alturas em metros), então podemos deixar d_1 em centímetros e obter d_2 em centímetros. Opcionalmente poderíamos converter d_1 para metros; o resultado final só precisa ter unidade coerente. Vou manter d_1=75\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Calcule a razão das alturas e então d_2:
\frac{h_2}{h_1}=\frac{12}{35}=0{,}342857\ldots
d_2=75\\ \mathrm{cm}\times 0{,}342857\ldots \approx 25{,}7142857\\ \mathrm{cm}.
Arredondando com uma casa decimal (ou para inteiro, se preferir), temos d_2\approx 25{,}7\\ \mathrm{cm} (aprox. 26\\ \mathrm{cm}).

Passo 6

Interpretação final e dica para prova: usamos semelhança linear (proporção direta entre dimensões). Em provas, escreva sempre a proporção, isole a incógnita e faça atenção às unidades — a razão de alturas é adimensional, então mantenha coerência.

Resposta

25{,}7\\ \mathrm{cm}

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