Mostre o enunciado da segunda lei da termodinâmica para um sistema isolado. O que esse enunciado nos diz? Mostre através da segunda lei da termodinâmica que o calor flui do corpo mais quente para o corpo mais frio (sistema isolado).
Passo 1
O que o problema pede:
- Mostrar o enunciado da segunda lei da termodinâmica para um sistema isolado.
- Explicar em palavras o que esse enunciado nos diz.
- Usar a segunda lei para demonstrar que, em um sistema isolado formado por dois corpos inicialmente a temperaturas diferentes, o calor flui do corpo mais quente para o corpo mais frio.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- Temos um sistema isolado (isto é, sem troca de energia na forma de calor ou trabalho com o exterior).
- Podemos considerar, para a demonstração, dois corpos (chamados aqui de corpo
e corpo ) que trocam calor entre si mas nada com o exterior. - Inicialmente os corpos têm temperaturas diferentes; sem perda de generalidade, suponha que
.
Passo 2
Enunciado da segunda lei para sistema isolado — escrita e significado.
- Enunciado (forma prática e comum para sistema isolado):
onde
é a variação da entropia do sistema isolado. A igualdade
ocorre somente quando o sistema está em equilíbrio (processo reversível ideal); para processos irreversíveis reais temos
.
- O que isso diz, em palavras simples: a entropia total de um sistema isolado nunca diminui; ela tende a aumentar até atingir um máximo no equilíbrio. Intuitivamente: processos espontâneos em sistemas isolados fazem a “desordem / multiplicidade de microestados” aumentar (ou, mais formalmente, a entropia).
Passo 3
Pequena aula sobre entropia e como calculá-la em trocas de calor.
- Definição prática de variação de entropia para uma troca de calor reversível:
onde
é a variação de entropia,
é um elemento de calor trocado por um processo reversível, e
é a temperatura absoluta (em Kelvin) onde essa troca ocorre. Aqui cada termo significa:
-
: quantidade infinitesimal de calor transferida num caminho reversível de referência; -
: temperatura do corpo que recebe/perde esse calor (assumimos que, para incrementos pequenos, a temperatura é bem definida). - Observação didática: mesmo que a troca real entre os corpos seja irreversível, para calcular a variação de entropia de cada corpo podemos imaginar um caminho reversível que muda a energia interna do corpo pela mesma quantidade de calor — isso permite usar a fórmula diferencial acima.
Passo 4
Modelagem do problema: dois corpos
e
trocando um pequeno calor.
- Considere um pequeno fluxo de calor
que sai do corpo e vai para o corpo . Pela conservação de energia (sistema isolado), a energia perdida por é ganha por . - Sinalização (clara): aqui eu defino
quando a quantidade de calor é transferida de para . Assim, perde calor e ganha calor . - Para variações infinitesimais, as variações de entropia dos corpos são (usando a fórmula de entropia para caminhos reversíveis de referência):
Explicação dos sinais:
-
tem sinal negativo porque o corpo perde energia por calor; -
tem sinal positivo porque o corpo ganha essa energia.
Passo 5
Cálculo da variação total de entropia e análise do sinal.
- A variação de entropia total do sistema isolado (corpos
mais ) é:
- Colocando em evidência
:
- Lembrete: partimos da hipótese
. Para temperaturas positivas (Kelvin), isso implica
Logo o fator
é positivo.
Passo 6
Interpretação e conclusão sobre a direção espontânea do calor.
- Se
(isto é, calor vai de para , do corpo mais quente para o mais frio), então
Isso está de acordo com a segunda lei (
) — processo espontâneo possível.
- Se, por outro lado, o calor fluísse do corpo mais frio para o mais quente (isto é,
na nossa convenção ou, equivalente, considerar sendo transferido de para ), então o mesmo cálculo dá
porque agora
tem sinal oposto, enquanto o parêntesis é positivo. Isso violaria a segunda lei (a entropia total diminuiria), portanto tal fluxo espontâneo é impossível.
- Caso limite: se
, então
e não há fluxo líquido de calor (equilíbrio térmico).
Passo 7
Resumo pedagógico final (por que isso resolve o que foi pedido).
- A segunda lei no formato
dá uma condição quantitativa sobre a possibilidade de processos em sistemas isolados. - Aplicando-a ao caso de dois corpos, o cálculo direto de
mostra que apenas a transferência de calor do corpo mais quente para o mais frio aumenta a entropia total; a transferência no sentido oposto diminuiria a entropia total e, portanto, é proibida espontaneamente. - Assim concluímos, com base na segunda lei para sistemas isolados, que o calor flui espontaneamente do corpo mais quente para o corpo mais frio até que as temperaturas se igualem (equilíbrio térmico).
Resposta
Enunciado:
para um sistema isolado (igualdade em equilíbrio).
Conclusão: Aplicando isso a dois corpos com e transferindo calor
de
para
, temos
; portanto o fluxo espontâneo de calor é do corpo mais quente para o mais frio.
Conclusão: Aplicando isso a dois corpos com