Mostre o enunciado da segunda lei da termodinâmica para um sistema isolado. O que esse enunciado nos diz? Mostre através da segunda lei da termodinâmica que o calor flui do corpo mais quente para o corpo mais frio (sistema isolado).

Passo 1

O que o problema pede:
  • Mostrar o enunciado da segunda lei da termodinâmica para um sistema isolado.
  • Explicar em palavras o que esse enunciado nos diz.
  • Usar a segunda lei para demonstrar que, em um sistema isolado formado por dois corpos inicialmente a temperaturas diferentes, o calor flui do corpo mais quente para o corpo mais frio.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Temos um sistema isolado (isto é, sem troca de energia na forma de calor ou trabalho com o exterior).
  • Podemos considerar, para a demonstração, dois corpos (chamados aqui de corpo A e corpo B) que trocam calor entre si mas nada com o exterior.
  • Inicialmente os corpos têm temperaturas diferentes; sem perda de generalidade, suponha que T_A > T_B.

Passo 2

Enunciado da segunda lei para sistema isolado — escrita e significado.
  • Enunciado (forma prática e comum para sistema isolado):
\Delta S_{\text{total}} \ge 0,
onde \Delta S_{\text{total}} é a variação da entropia do sistema isolado. A igualdade \Delta S_{\text{total}}=0 ocorre somente quando o sistema está em equilíbrio (processo reversível ideal); para processos irreversíveis reais temos \Delta S_{\text{total}}>0.
  • O que isso diz, em palavras simples: a entropia total de um sistema isolado nunca diminui; ela tende a aumentar até atingir um máximo no equilíbrio. Intuitivamente: processos espontâneos em sistemas isolados fazem a “desordem / multiplicidade de microestados” aumentar (ou, mais formalmente, a entropia).

Passo 3

Pequena aula sobre entropia e como calculá-la em trocas de calor.
  • Definição prática de variação de entropia para uma troca de calor reversível:
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},
onde dS é a variação de entropia, \delta Q_{\text{rev}} é um elemento de calor trocado por um processo reversível, e T é a temperatura absoluta (em Kelvin) onde essa troca ocorre. Aqui cada termo significa:
  • \delta Q_{\text{rev}}: quantidade infinitesimal de calor transferida num caminho reversível de referência;
  • T: temperatura do corpo que recebe/perde esse calor (assumimos que, para incrementos pequenos, a temperatura é bem definida).
  • Observação didática: mesmo que a troca real entre os corpos seja irreversível, para calcular a variação de entropia de cada corpo podemos imaginar um caminho reversível que muda a energia interna do corpo pela mesma quantidade de calor — isso permite usar a fórmula diferencial acima.

Passo 4

Modelagem do problema: dois corpos A e B trocando um pequeno calor.
  • Considere um pequeno fluxo de calor \delta Q que sai do corpo A e vai para o corpo B. Pela conservação de energia (sistema isolado), a energia perdida por A é ganha por B.
  • Sinalização (clara): aqui eu defino \delta Q>0 quando a quantidade de calor é transferida de A para B. Assim, A perde calor \delta Q e B ganha calor \delta Q.
  • Para variações infinitesimais, as variações de entropia dos corpos são (usando a fórmula de entropia para caminhos reversíveis de referência):
dS_A = -\frac{\delta Q}{T_A},
dS_B = +\frac{\delta Q}{T_B}.
Explicação dos sinais:
  • dS_A tem sinal negativo porque o corpo A perde energia por calor;
  • dS_B tem sinal positivo porque o corpo B ganha essa energia.

Passo 5

Cálculo da variação total de entropia e análise do sinal.
  • A variação de entropia total do sistema isolado (corpos A mais B) é:
dS_{\text{total}} = dS_A + dS_B = -\frac{\delta Q}{T_A} + \frac{\delta Q}{T_B}.
  • Colocando em evidência \delta Q:
dS_{\text{total}} = \delta Q\left(\frac{1}{T_B}-\frac{1}{T_A}\right).
  • Lembrete: partimos da hipótese T_A > T_B. Para temperaturas positivas (Kelvin), isso implica
\frac{1}{T_B} > \frac{1}{T_A}.
Logo o fator \left(\frac{1}{T_B}-\frac{1}{T_A}\right) é positivo.

Passo 6

Interpretação e conclusão sobre a direção espontânea do calor.
  • Se \delta Q>0 (isto é, calor vai de A para B, do corpo mais quente para o mais frio), então
dS_{\text{total}} = \delta Q\left(\frac{1}{T_B}-\frac{1}{T_A}\right) > 0.
Isso está de acordo com a segunda lei ( \Delta S_{\text{total}}\ge0) — processo espontâneo possível.
  • Se, por outro lado, o calor fluísse do corpo mais frio para o mais quente (isto é, \delta Q<0 na nossa convenção ou, equivalente, considerar |\delta Q|>0 sendo transferido de B para A), então o mesmo cálculo dá
dS_{\text{total}} = \delta Q\left(\frac{1}{T_B}-\frac{1}{T_A}\right) < 0,
porque agora \delta Q tem sinal oposto, enquanto o parêntesis é positivo. Isso violaria a segunda lei (a entropia total diminuiria), portanto tal fluxo espontâneo é impossível.
  • Caso limite: se T_A=T_B, então
dS_{\text{total}}=0,
e não há fluxo líquido de calor (equilíbrio térmico).

Passo 7

Resumo pedagógico final (por que isso resolve o que foi pedido).
  • A segunda lei no formato \Delta S_{\text{total}}\ge0 dá uma condição quantitativa sobre a possibilidade de processos em sistemas isolados.
  • Aplicando-a ao caso de dois corpos, o cálculo direto de dS_{\text{total}} mostra que apenas a transferência de calor do corpo mais quente para o mais frio aumenta a entropia total; a transferência no sentido oposto diminuiria a entropia total e, portanto, é proibida espontaneamente.
  • Assim concluímos, com base na segunda lei para sistemas isolados, que o calor flui espontaneamente do corpo mais quente para o corpo mais frio até que as temperaturas se igualem (equilíbrio térmico).

Resposta

Enunciado: \Delta S_{\text{total}}\ge 0 para um sistema isolado (igualdade em equilíbrio).
Conclusão: Aplicando isso a dois corpos com T_A>T_B e transferindo calor \delta Q de A para B, temos dS_{\text{total}}=\delta Q\big(\tfrac{1}{T_B}-\tfrac{1}{T_A}\big)>0; portanto o fluxo espontâneo de calor é do corpo mais quente para o mais frio.

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