Um assado é retirado do freezer e é deixado em cima da pia da cozinha para descongelar. A temperatura do assado era -4^0 C quando foi retirado do freezer e, t horas depois, estava aumentando à taxa de T^prime(t)=7 cdot e^-0,35 cdot t ^circ C / h.
Suponha que o assado fique totalmente descongelado quando a temperatura chega a 10^circ C. Quanto tempo o assado leva para descongelar?

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura inicial do assado é –4 °C em t=0 e que a velocidade de aumento da temperatura é dada por T′(t)=7 e^{–0,35 t} °C/h. Queremos achar o tempo t>0 em que T(t)=10 °C. Esse problema envolve integrar a taxa de variação para obter T(t) e depois resolver a equação T(t)=10.

Passo 2

Começamos escrevendo a equação diferencial e preparando a integral:
dTdt=7,e^-0.35,t

Passo 3

Integramos de 0 até t para obter o acréscimo de temperatura:
integral0^t7e^-0.35sds=7[-10.35e^-0.35s]0^t=-20l(e^-0.35t-1r)=20l(1-e^-0.35tr)

Passo 4

Sabendo que T(0)=–4 °C, temos
T(t)=T(0)+integral0^tT'(s)ds=-4+20(1-e^-0.35t)=16-20e^-0.35t

Passo 5

Para descongelar, igualamos T(t)=10 e resolvemos:
16-20e^-0.35t=10Rightarrow e^-0.35t=620=310Rightarrow t=-10.35lnl(310r)approx3.44 h

Resposta

O assado leva aproximadamente 3,44 horas para descongelar.

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