Uma organização de defesa do meio ambiente liberta 100 animais de uma espécie ameaçada de extinção em uma reserva
„lógica. A organização acredita que a população da espécie aumentará a uma taxa dada pela equação
, onde N é a população e t é o tempo em anos.
Use
fato de que
no instante
, para determinar a população após dois anos?
„lógica. A organização acredita que a população da espécie aumentará a uma taxa dada pela equação
Use
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem para a taxa de variação da população:
e a condição inicial
. Queremos achar
. Vamos usar separação de variáveis e uma substituição adequada.
Passo 2
Começamos escrevendo
, ou seja,
Fazendo a substituição
Substituindo na integral:
Passo 3
Agora aplicamos
. Em
temos
, então
$$100 = \frac{1000}{9}\cdot\frac{1}{10} + C = \frac{100}{9} + C \quad\Longrightarrow\quad C = 100 - \frac{100}{9} = \frac{800}{9}.
$$
Passo 4
Para achar a população em
, substituímos:
$$N(2)= \frac{1000}{9}\cdot\frac{1}{9,e^{-0{,}125\cdot2}+1} + \frac{800}{9}.
$$
Passo 5
Calculando numericamente:
, então
e
$$N(2)\approx\frac{1000}{9}\cdot\frac{1}{8{,}009}+\frac{800}{9}\approx102{,}76.
$$
Resposta
N(2) \approx 102{,}76 animais