Uma organização de defesa do meio ambiente liberta 100 animais de uma espécie ameaçada de extinção em uma reserva
„lógica. A organização acredita que a população da espécie aumentará a uma taxa dada pela equação N^prime(t)=125 e^-0,125 cdot t(9 e^-0,125 cdot t+1)^2, onde N é a população e t é o tempo em anos.
Use o fato de que y=100 no instante t=0, para determinar a população após dois anos?

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem para a taxa de variação da população: N'(t)=125,e^-0,125,t(9,e^-0,125,t+1)^2 e a condição inicial N(0)=100. Queremos achar N(2). Vamos usar separação de variáveis e uma substituição adequada.

Passo 2

Começamos escrevendo tfracdNdt=tfrac125,e^-0,125,t(9,e^-0,125,t+1)^2, ou seja,
dN = 125,e^-0,125,t(9,e^-0,125,t+1)^2,dt
Fazendo a substituição u=9,e^-0,125,t+1 temos du = -9cdot0,125,e^-0,125,t,dt = -1,125,e^-0,125,t,dt, logo
e^-0,125,t,dt = -11,125,du
Substituindo na integral:
integral dN = -1251,125 integral duu^2 = -1251,125 l(-tfrac1ur) + C = 10009,19,e^-0.125,t+1 + C

Passo 3

Agora aplicamos N(0)=100. Em t=0 temos 9,e^0+1=10, então
$$100 = \frac{1000}{9}\cdot\frac{1}{10} + C = \frac{100}{9} + C \quad\Longrightarrow\quad C = 100 - \frac{100}{9} = \frac{800}{9}.
100 = 10009cdot110 + C = 1009 + C Longrightarrow C = 100 - 1009 = 8009 çãéN(t)= \frac{1000}{9},\frac{1}{9,e^{-0.125,t}+1} + \frac{800}{9}.
$$

Passo 4

Para achar a população em t=2, substituímos:
$$N(2)= \frac{1000}{9}\cdot\frac{1}{9,e^{-0{,}125\cdot2}+1} + \frac{800}{9}.
$$

Passo 5

Calculando numericamente: e^-0,25approx0,7788, então 9,e^-0,25+1approx8,009 e
$$N(2)\approx\frac{1000}{9}\cdot\frac{1}{8{,}009}+\frac{800}{9}\approx102{,}76.
$$

Resposta

N(2) \approx 102{,}76 animais

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