Considere a mesma situação de um dos exemplos mostrados em aula, em que supomos a renda familiar mensal média no estado de \mathrm{R} \ 900 , com desvio padrão deã\mathrm{R} $200$, seguindo uma distribuição normal.
E se o apoio fosse dado às famílias com renda até R $ 600), quantos % das famílias teriam o apoio?

Passo 1

O enunciado pergunta: se a renda familiar mensal média é \mathrm{R}\$\,900 com desvio padrão \mathrm{R}\$\,200 e a renda segue uma distribuição normal, qual porcentagem das famílias teria apoio se o critério fosse renda até \mathrm{R}\$\,600?
Informações dadas:
\mu=\mathrm{R}\$\,900 (média), \sigma=\mathrm{R}\$\,200 (desvio padrão), limite de apoio X= \mathrm{R}\$\,600. A pergunta pede P(X\le \mathrm{R}\$\,600) em percentagem.

Passo 2

Entendendo o que precisamos fazer (sem jargões complicados): em distribuições normais usamos a padronização para transformar qualquer valor X numa variável normal padrão Z (média zero e desvio padrão 1). A fórmula de padronização é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
Aqui X é o valor que nos interessa ( \mathrm{R}\$\,600), \mu é a média e \sigma é o desvio padrão. Depois de calcular Z usamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora) para achar a probabilidade de Z ser menor que esse valor.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Z=\frac{600-900}{200}=\frac{-300}{200}=-1,5
Ou seja, o ponto \mathrm{R}\$\,600 corresponde a Z=-1,5 na normal padrão.

Passo 4

Agora vamos interpretar isso em termos de probabilidade. Queremos
P(X\le 600)=P\bigl(Z\le -1,5\bigr)=\Phi(-1,5),
onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão. Usando a propriedade de simetria da normal padrão:
\Phi(-z)=1-\Phi(z).
Logo
\Phi(-1,5)=1-\Phi(1,5).

Passo 5

Consultando a tabela da normal padrão (valor comum nas aulas) ou uma referência, temos
\Phi(1,5)=0,9332.
Portanto
\Phi(-1,5)=1-0,9332=0,0668.

Passo 6

Convertendo para porcentagem:
0,0668 = 6,68\%.
Interpretação: aproximadamente 6,68\% das famílias têm renda até \mathrm{R}\$\,600 e, portanto, receberiam o apoio segundo esse critério. Uma aproximação prática seria dizer cerca de 6,7\% ou aproximadamente 7\% das famílias.

Resposta

6,68\%

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