Em uma assembleia internacional existem 135 pessoas das quais 75 falam francês, 81 falam inglês e 14 não falam nenhum desses dois idiomas. Quantas pessoas falam francês e inglês?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e qual é a pergunta (peguei estes números do enunciado).
- Total de pessoas na assembleia:
. - Pessoas que falam francês:
. - Pessoas que falam inglês:
. - Pessoas que não falam nenhum dos dois idiomas:
.
O enunciado pergunta:
- Quantas pessoas falam francês e inglês simultaneamente? (ou seja, qual é o número de pessoas que falam ambos os idiomas)
Passo 2
Vamos usar uma linguagem de conjuntos para deixar tudo claro (isso facilita na prova):
- Seja
o conjunto de pessoas que falam francês. - Seja
o conjunto de pessoas que falam inglês. - O que queremos é
, ou seja, o número de elementos na interseção de e (pessoas que falam os dois idiomas).
Explicando de forma simples:é o número de pessoas que falam pelo menos um dos idiomas (francês ou inglês). Quem não fala nenhum dos dois não está em .
Passo 3
Calcular quantas pessoas falam pelo menos um dos idiomas.
Como pessoas não falam nenhum dos dois, o número de pessoas que falam pelo menos um é o total menos essas:
Como
Explicação curta: do total de
subtrai-se os que não estão em nenhum conjunto, sobrando os que estão em pelo menos um.
Passo 4
Apresentar a fórmula que liga união, interseção e contagens individuais.
A fórmula de contagem para dois conjuntos e
é:
A fórmula de contagem para dois conjuntos
O que essa fórmula diz, em palavras: se somarmos
e
contamos duas vezes as pessoas que estão em ambos; por isso subtraímos
uma vez para corrigir a contagem dupla.
Passo 5
Isolar
na fórmula e substituir os números que temos.
Agora substituindo
,
e
:
Fazendo as contas passo a passo:
Passo 6
Verificação rápida de consistência (para ficar tranquilo na prova):
-
é não-negativo e não excede nem nem , então faz sentido. - Se
pessoas falam ambos, então as que falam somente francês seriam e as que falam somente inglês seriam . Somando: pessoas que falam pelo menos um idioma — bate com o valor obtido anteriormente.