Em uma assembleia internacional existem 135 pessoas das quais 75 falam francês, 81 falam inglês e 14 não falam nenhum desses dois idiomas. Quantas pessoas falam francês e inglês?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e qual é a pergunta (peguei estes números do enunciado).
  • Total de pessoas na assembleia: 135.
  • Pessoas que falam francês: 75.
  • Pessoas que falam inglês: 81.
  • Pessoas que não falam nenhum dos dois idiomas: 14.
O enunciado pergunta:
  • Quantas pessoas falam francês e inglês simultaneamente? (ou seja, qual é o número de pessoas que falam ambos os idiomas)

Passo 2

Vamos usar uma linguagem de conjuntos para deixar tudo claro (isso facilita na prova):
  • Seja F o conjunto de pessoas que falam francês.
  • Seja I o conjunto de pessoas que falam inglês.
  • O que queremos é |F\cap I|, ou seja, o número de elementos na interseção de F e I (pessoas que falam os dois idiomas).
    Explicando de forma simples: |F\cup I| é o número de pessoas que falam pelo menos um dos idiomas (francês ou inglês). Quem não fala nenhum dos dois não está em F\cup I.

Passo 3

Calcular quantas pessoas falam pelo menos um dos idiomas.
Como 14 pessoas não falam nenhum dos dois, o número de pessoas que falam pelo menos um é o total menos essas:
|F\cup I| = 135 - 14 = 121.
Explicação curta: do total de 135 subtrai-se os que não estão em nenhum conjunto, sobrando os que estão em pelo menos um.

Passo 4

Apresentar a fórmula que liga união, interseção e contagens individuais.
A fórmula de contagem para dois conjuntos F e I é:
|F\cup I| = |F| + |I| - |F\cap I|.
O que essa fórmula diz, em palavras: se somarmos |F| e |I| contamos duas vezes as pessoas que estão em ambos; por isso subtraímos |F\cap I| uma vez para corrigir a contagem dupla.

Passo 5

Isolar |F\cap I| na fórmula e substituir os números que temos.
|F\cap I| = |F| + |I| - |F\cup I|.
Agora substituindo |F|=75, |I|=81 e |F\cup I|=121:
|F\cap I| = 75 + 81 - 121.
Fazendo as contas passo a passo:
75 + 81 = 156,
156 - 121 = 35.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (para ficar tranquilo na prova):
  • 35 é não-negativo e não excede nem 75 nem 81, então faz sentido.
  • Se 35 pessoas falam ambos, então as que falam somente francês seriam 75-35=40 e as que falam somente inglês seriam 81-35=46. Somando: 40+46+35=121 pessoas que falam pelo menos um idioma — bate com o valor obtido anteriormente.

Resposta

35

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