Em uma cidade existem dois jornais A e B que têm, juntos, 4000 leitores. O jornal A tem 3400 leitores e os dois jornais têm 900 leitores comuns. Quantos são leitores do jornal B?
Passo 1
O enunciado pede para descobrir quantos são leitores do jornal B. As informações fornecidas são:
- O número total de leitores dos dois jornais juntos (ou seja, leitores de
ou ou ambos) é . - O jornal
tem leitores. - Os dois jornais têm
leitores em comum (ou seja, leitores que lêem tanto quanto ).
O que devemos encontrar: o número de leitores do jornal
.
Passo 2
Vamos traduzir isso para a linguagem de conjuntos e definir notação (é útil para organizar o raciocínio).
- Seja
o conjunto de leitores do jornal . - Seja
o conjunto de leitores do jornal . - Denotamos o número de elementos (leitores) de um conjunto
por .
As quantidades que temos escritas em notação de conjuntos:
-
(leitores que leem pelo menos um dos jornais), -
, -
.
Agora a fórmula-chave que vamos usar é a fórmula da união de dois conjuntos (princípio da inclusão-exclusão). Vou explicar ela com calma.
Passo 3
Princípio da inclusão-exclusão para dois conjuntos:
- A ideia é que, ao somar
e , quem lê os dois jornais ficou contado duas vezes. Para corrigir isso subtrai-se uma vez .
A fórmula é:
Aqui:
-
é o número total de leitores que leem pelo menos um dos jornais; -
é o número de leitores do jornal ; -
é o número de leitores do jornal (o que queremos); -
é o número de leitores que leem ambos.
Para encontrar
isolamos essa variável na fórmula. Subtraindo
e somando
em ambos os lados:
Passo 4
Agora substituímos os números que o enunciado deu na fórmula:
Passo 5
Fazendo as contas passo a passo:
Portanto
.
Passo 6
Checagem rápida para ter certeza (autoverificação): somando
e
e subtraindo a interseção obtemos
que coincide com
. Tudo consistente.