Se A e B são conjuntos tais que n(A \cup B)=24, n(A-B)=13 e n(B-A)=9, então:
a) n(A \cup B)-n(A \cap B)=20
b) n(A)-n(B)=n(A-B)
c) n(A \cap B)=3
d) n(B)=11
e) n(A)=16

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pergunta.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • n(A \cup B)=24.
    • n(A-B)=13.
    • n(B-A)=9.
  • O enunciado apresenta cinco afirmações (a) a (e). A tarefa é verificar, com base nos dados, quais dessas afirmações são verdadeiras.

Passo 2

Lembrete/definição importante (aula rápida e prática): a união A\cup B pode ser vista como a reunião de três partes disjuntas (exclusivas) num diagrama de Venn:
  • os elementos que estão só em A, que é A-B;
  • os elementos que estão só em B, que é B-A;
  • os elementos que estão em ambos, que é A\cap B.
Por isso existe a fórmula de contagem
n(A\cup B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B).
Essa fórmula vem da ideia de particionar a união em três conjuntos disjuntos; somando o número de elementos em cada parte dá o total da união.

Passo 3

Usando a fórmula do passo anterior e os dados, vamos calcular n(A\cap B). Substituindo:
24 = n(A\cup B) = n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B)=13+9+n(A\cap B).
Agora isolamos n(A\cap B):
n(A\cap B)=24-(13+9)=24-22=2.
Portanto o número de elementos na interseção é \,n(A\cap B)=2.

Passo 4

Com n(A\cap B) encontrado, podemos calcular n(A) e n(B) a partir das decomposições:
n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)
e
n(B)=n(B-A)+n(A\cap B).
Substituindo os números conhecidos:
n(A)=13+2=15,
n(B)=9+2=11.
Resumo dos valores calculados: n(A\cap B)=2, n(A)=15, n(B)=11.

Passo 5

Agora vamos verificar cada afirmação, calculando ambos os lados das igualdades/afirmações (aqui mostro as contas, sem ainda colocar o veredito final nesta seção).
Afirmação (a): n(A \cup B)-n(A \cap B)=20.
Calculemos o lado esquerdo com os valores que temos:
n(A\cup B)-n(A\cap B)=24-2=22.
Comparação: 22 (esquerda) versus 20 (direita).

Passo 6

Afirmação (b): n(A)-n(B)=n(A-B).
Calculemos o lado esquerdo:
n(A)-n(B)=15-11=4.
O lado direito é n(A-B)=13.
Comparação: 4 (esquerda) versus 13 (direita).

Passo 7

Afirmação (c): n(A \cap B)=3.
Nós calculamos \,n(A\cap B)=2 no passo 3.
Comparação: 2 (valor calculado) versus 3 (afirmado).

Passo 8

Afirmação (d): n(B)=11.
Nós calculamos \,n(B)=11 no passo 4.
Comparação: 11 (valor calculado) versus 11 (afirmado).

Passo 9

Afirmação (e): n(A)=16.
Nós calculamos \,n(A)=15 no passo 4.
Comparação: 15 (valor calculado) versus 16 (afirmado).

Resposta

a) Falsa
b) Falsa
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Falsa

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