Se
e
são conjuntos tais que
e
, então:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pergunta.
-
Dados (pegos do enunciado):
-
. -
. -
.
-
-
O enunciado apresenta cinco afirmações (a) a (e). A tarefa é verificar, com base nos dados, quais dessas afirmações são verdadeiras.
Passo 2
Lembrete/definição importante (aula rápida e prática): a união
pode ser vista como a reunião de três partes disjuntas (exclusivas) num diagrama de Venn:
- os elementos que estão só em
, que é ; - os elementos que estão só em
, que é ; - os elementos que estão em ambos, que é
.
Por isso existe a fórmula de contagem
Essa fórmula vem da ideia de particionar a união em três conjuntos disjuntos; somando o número de elementos em cada parte dá o total da união.
Passo 3
Usando a fórmula do passo anterior e os dados, vamos calcular
. Substituindo:
Agora isolamos
:
Portanto o número de elementos na interseção é
.
Passo 4
Com
encontrado, podemos calcular
e
a partir das decomposições:
e
Substituindo os números conhecidos:
Resumo dos valores calculados:
,
,
.
Passo 5
Agora vamos verificar cada afirmação, calculando ambos os lados das igualdades/afirmações (aqui mostro as contas, sem ainda colocar o veredito final nesta seção).
Afirmação (a):
.
Calculemos o lado esquerdo com os valores que temos:
Calculemos o lado esquerdo com os valores que temos:
Comparação:
(esquerda) versus
(direita).
Passo 6
Afirmação (b):
.
Calculemos o lado esquerdo:
Calculemos o lado esquerdo:
O lado direito é
.
Comparação: (esquerda) versus
(direita).
Comparação:
Passo 7
Afirmação (c):
.
Nós calculamos no passo 3.
Comparação: (valor calculado) versus
(afirmado).
Nós calculamos
Comparação:
Passo 8
Afirmação (d):
.
Nós calculamos no passo 4.
Comparação: (valor calculado) versus
(afirmado).
Nós calculamos
Comparação:
Passo 9
Afirmação (e):
.
Nós calculamos no passo 4.
Comparação: (valor calculado) versus
(afirmado).
Nós calculamos
Comparação:
Resposta
a) Falsa
b) Falsa
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Falsa
b) Falsa
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Falsa