Dois clubes A e B têm, juntos, 6000 sócios. O clube B tem 4000 sócios e os dois clubes têm 500 sócios comuns. Quantos sócios têm o clube A?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado informa que, juntos, os dois clubes têm
sócios. Ou seja, o número total de pessoas distintas que são sócias de pelo menos um dos clubes é . - O enunciado diz que o clube
tem sócios. (Peguei esse número do enunciado.) - O enunciado diz que os dois clubes têm
sócios em comum, isto é, . (Também peguei esse número do enunciado.) - O que o problema pede: determinar quantos sócios tem o clube
, ou seja, encontrar .
Passo 2
Vou explicar a ideia que precisamos usar (conto bem mastigado, sem pular passos).
Quando contamos quantas pessoas estão em
ou em
(a união
), se simplesmente somarmos
e
vamos contar duas vezes as pessoas que pertencem aos dois clubes (a interseção
). Para corrigir isso, usamos a fórmula de inclusão-exclusão para dois conjuntos:
Explicando cada termo:
-
é o número de pessoas que são sócias de pelo menos um dos clubes. -
é o número de sócios do clube (o que queremos). -
é o número de sócios do clube (dado). -
é o número de sócios que pertencem aos dois clubes (dado).
A razão do sinal menos é justamente para não contar duas vezes quem está em ambos os clubes.
Passo 3
Agora aplico a fórmula usando os números do enunciado (estou substituindo os valores que peguei no Passo 1):
Aqui
,
e
.
Passo 4
Vou isolar
e fazer a conta passo a passo:
Primeiro calcolo
:
Então a equação fica
Agora subtraio
dos dois lados para achar
:
Faço a subtração:
Portanto
.
Passo 5
Vou fazer uma checagem rápida para ver se o resultado faz sentido.
- A interseção tem
sócios, que é menor que , ok (não pode a interseção ser maior que um dos conjuntos). - Somando e aplicando a fórmula:
, que retorna o total dado, então está consistente.