Dois clubes A e B têm, juntos, 6000 sócios. O clube B tem 4000 sócios e os dois clubes têm 500 sócios comuns. Quantos sócios têm o clube A?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado informa que, juntos, os dois clubes têm 6000 sócios. Ou seja, o número total de pessoas distintas que são sócias de pelo menos um dos clubes é |A\cup B| = 6000.
  • O enunciado diz que o clube B tem |B| = 4000 sócios. (Peguei esse número do enunciado.)
  • O enunciado diz que os dois clubes têm 500 sócios em comum, isto é, |A\cap B| = 500. (Também peguei esse número do enunciado.)
  • O que o problema pede: determinar quantos sócios tem o clube A, ou seja, encontrar |A|.

Passo 2

Vou explicar a ideia que precisamos usar (conto bem mastigado, sem pular passos).
Quando contamos quantas pessoas estão em A ou em B (a união A\cup B), se simplesmente somarmos |A| e |B| vamos contar duas vezes as pessoas que pertencem aos dois clubes (a interseção A\cap B). Para corrigir isso, usamos a fórmula de inclusão-exclusão para dois conjuntos:
|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|.
Explicando cada termo:
  • |A\cup B| é o número de pessoas que são sócias de pelo menos um dos clubes.
  • |A| é o número de sócios do clube A (o que queremos).
  • |B| é o número de sócios do clube B (dado).
  • |A\cap B| é o número de sócios que pertencem aos dois clubes (dado).
A razão do sinal menos é justamente para não contar duas vezes quem está em ambos os clubes.

Passo 3

Agora aplico a fórmula usando os números do enunciado (estou substituindo os valores que peguei no Passo 1):
6000 = |A| + 4000 - 500.
Aqui |A\cup B| = 6000, |B| = 4000 e |A\cap B| = 500.

Passo 4

Vou isolar |A| e fazer a conta passo a passo:
6000 = |A| + 4000 - 500
Primeiro calcolo 4000 - 500:
4000 - 500 = 3500.
Então a equação fica
6000 = |A| + 3500.
Agora subtraio 3500 dos dois lados para achar |A|:
|A| = 6000 - 3500.
Faço a subtração:
6000 - 3500 = 2500.
Portanto |A| = 2500.

Passo 5

Vou fazer uma checagem rápida para ver se o resultado faz sentido.
  • A interseção tem 500 sócios, que é menor que 2500, ok (não pode a interseção ser maior que um dos conjuntos).
  • Somando e aplicando a fórmula: 2500 + 4000 - 500 = 6000, que retorna o total dado, então está consistente.

Resposta

2500 sócios

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