Assim como podemos considerar sequências e séries de números reais, também é possível estudar sequências de funções e séries de funções. Uma sequência de funções é uma sequência da forma
, em que cada termo é uma função definida em um mesmo domínio. A série de funções associada é a soma infinita:
cujo valor, para cada
, depende da convergência da série numérica obtida ao fixarmos o valor de
. A série de potências é um caso particular de série de funções com
, onde
é uma sequência numérica e
. Considere a sequência de funções
.
(a) Mostre que a série
converge para todo
. (Dica: Considere usar o Teste da Convergência Absoluta juntamente com o Teste da Comparação.)
(b) Calcule
e analise o comportamento da série
. Mostre que essa série diverge quando
, com
.
© Calcule
e determine para quais valores de
a série
converge.
(a) Mostre que a série
(b) Calcule
© Calcule
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série de funções associada a fₙ(x)=sin(nx)/n²: (a) mostrar que ∑ₙ fₙ(x) converge para todo x, (b) calcular fₙ′(x) e ver onde ∑ₙ fₙ′(x) diverge em x=2πk, e © calcular fₙ′′(x) e determinar para quais x ∑ₙ fₙ′′(x) converge. Vamos usar comparação de séries numéricas e o teste do termo geral.
Passo 2
Vamos ao item (a): como |sin(nx)/n²|≤1/n², e sabemos que a série ∑ₙ1/n² converge (série p com p=2>1), segue por comparação que ∑ₙ|fₙ(x)| converge. Logo ∑ₙfₙ(x) converge absolutamente e, a fortiori, converge para todo x.
Passo 3
No item (b) derivamos fₙ(x): usando (d/dx)
sin(nx)=n
cos(nx), temos
sin(nx)=n
cos(nx), temos
Passo 4
Para analisar ∑ₙfₙ’(x)=∑ₙcos(nx)/n note que, se x=2πk com k inteiro, então cos(n·2πk)=1 para todo n, e a série vira ∑ₙ1/n, que é a harmônica divergente. Portanto ∑ₙfₙ’(x) diverge em x=2πk.
Passo 5
No item © derivamos de novo: como fₙ’(x)=cos(nx)/n, temos (d/dx)
cos(nx)=−n
sin(nx), logo
cos(nx)=−n
sin(nx), logo
Passo 6
Para que ∑ₙfₙ’’(x)=−∑ₙsin(nx) converja é necessário que o termo geral sin(nx) vá a zero quando n→∞. Isso só acontece se sin(nx)=0 para todo n, ou seja, x=mπ com m inteiro. Nessas x cada termo é zero e a série converge trivialmente.
Passo 7
Assim concluímos a análise dos três itens.
Resposta
(a) ∑ₙsin(nx)/n² converge absolutamente e portanto converge para todo x∈ℝ. (b) fₙ’(x)=cos(nx)/n e ∑ₙfₙ’(x) diverge quando x=2πk, k∈ℤ. © fₙ’’(x)=−sin(nx) e ∑ₙfₙ’’(x) converge somente se x=mπ, m∈ℤ.