Assim como podemos considerar sequências e séries de números reais, também é possível estudar sequências de funções e séries de funções. Uma sequência de funções é uma sequência da forma f1(x), f2(x), f3(x), ldots, em que cada termo é uma função definida em um mesmo domínio. A série de funções associada é a soma infinita:
sumn=1^infty fn(x)
cujo valor, para cada x, depende da convergência da série numérica obtida ao fixarmos o valor de x. A série de potências é um caso particular de série de funções com fn(x)=cn(x-a)^n, onde a in R é uma sequência numérica e fn(x)=sin (n x)n^2. Considere a sequência de funções sumn=1^infty fn(x).
(a) Mostre que a série x in R converge para todo fn^prime(x). (Dica: Considere usar o Teste da Convergência Absoluta juntamente com o Teste da Comparação.)
(b) Calcule sumn=1^infty fn^prime(x) e analise o comportamento da série x=2 pi n. Mostre que essa série diverge quando n in Z, com fn^prime prime(x).
© Calcule x e determine para quais valores de sumn=1^infty fn^prime prime(x) a série converge.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série de funções associada a fₙ(x)=sin(nx)/n²: (a) mostrar que ∑ₙ fₙ(x) converge para todo x, (b) calcular fₙ′(x) e ver onde ∑ₙ fₙ′(x) diverge em x=2πk, e © calcular fₙ′′(x) e determinar para quais x ∑ₙ fₙ′′(x) converge. Vamos usar comparação de séries numéricas e o teste do termo geral.

Passo 2

Vamos ao item (a): como |sin(nx)/n²|≤1/n², e sabemos que a série ∑ₙ1/n² converge (série p com p=2>1), segue por comparação que ∑ₙ|fₙ(x)| converge. Logo ∑ₙfₙ(x) converge absolutamente e, a fortiori, converge para todo x.

Passo 3

No item (b) derivamos fₙ(x): usando (d/dx)
sin(nx)=n
cos(nx), temos
fₙ'(x)=ncos(nx)n^2=cos(nx)n

Passo 4

Para analisar ∑ₙfₙ’(x)=∑ₙcos(nx)/n note que, se x=2πk com k inteiro, então cos(n·2πk)=1 para todo n, e a série vira ∑ₙ1/n, que é a harmônica divergente. Portanto ∑ₙfₙ’(x) diverge em x=2πk.

Passo 5

No item © derivamos de novo: como fₙ’(x)=cos(nx)/n, temos (d/dx)
cos(nx)=−n
sin(nx), logo
fₙ''(x)=-nsin(nx)n=-sin(nx)

Passo 6

Para que ∑ₙfₙ’’(x)=−∑ₙsin(nx) converja é necessário que o termo geral sin(nx) vá a zero quando n→∞. Isso só acontece se sin(nx)=0 para todo n, ou seja, x=mπ com m inteiro. Nessas x cada termo é zero e a série converge trivialmente.

Passo 7

Assim concluímos a análise dos três itens.

Resposta

(a) ∑ₙsin(nx)/n² converge absolutamente e portanto converge para todo x∈ℝ. (b) fₙ’(x)=cos(nx)/n e ∑ₙfₙ’(x) diverge quando x=2πk, k∈ℤ. © fₙ’’(x)=−sin(nx) e ∑ₙfₙ’’(x) converge somente se x=mπ, m∈ℤ.

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