Calcule a segunda derivada de cada função dada abaixo. (Obs. Simplifique a expressão obtida)
P(t)=cos ^4(t)+cos (t^4)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a segunda derivada da função P(t)=cos^4(t)+cos(t^4). O conteúdo envolvido é derivada de compostas e produto, então vamos usar a regra da cadeia e a regra do produto para achar P'(t) e depois P''(t).

Passo 2

Derivando cos^4(t) usando regra da cadeia: definimos u=cos t, então ddu(u^4)=4u^3 e dudt=-sin t. Logo
ddtl(cos^4(t)r)=4cos^3(t)cdot(-sin t)=-4cos^3 t,sin t

Passo 3

Derivando cos(t^4) também por regra da cadeia: definimos v=t^4, então ddv(cos v)=-sin v e dvdt=4t^3. Logo
ddtl(cos(t^4)r)=-sin(t^4)cdot4t^3=-4t^3,sin(t^4)

Passo 4

Somando as duas partes obtemos a primeira derivada
P'(t)=-4cos^3 t,sin t;- 4t^3,sin(t^4)

Passo 5

Agora vamos derivar a primeira parcela de P'(t):
h(t)=-4cos^3 t,sin t. Usando regra do produto e cadeia:
  • Derivada de cos^3 t é 3cos^2 tcdot(-sin t)=-3cos^2 t,sin t.
  • Derivada de sin t é cos t.
    Logo
ddth(t)=-4l[(-3cos^2 t,sin t)cdotsin t+cos^3 tcdotcos tr] =12cos^2 t,sin^2 t-4cos^4 t

Passo 6

Agora derivamos a segunda parcela de P'(t):
k(t)=-4t^3,sin(t^4). Novamente produto e cadeia:
  • Derivada de t^3 é 3t^2.
  • Derivada de sin(t^4) é cos(t^4)cdot4t^3=4t^3cos(t^4).
    Logo
ddtk(t)=-4l[3t^2sin(t^4)+t^3cdot4t^3cos(t^4)r] =-12t^2sin(t^4)-16t^6cos(t^4)

Passo 7

Somando h'(t) e k'(t) chegamos à segunda derivada e, em seguida, simplificamos em parte fatorando 4cos^2 t:
P''(t)=12cos^2 t,sin^2 t-4cos^4 t-12t^2sin(t^4)-16t^6cos(t^4) =4cos^2 tl(3sin^2 t-cos^2 tr)-12t^2sin(t^4)-16t^6cos(t^4)

Resposta

P''(t)=4cos^2(t)l(3sin^2(t)-cos^2(t)r)-12t^2sin(t^4)-16t^6cos(t^4)

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