Calcule a segunda derivada de cada função dada abaixo. (Obs. Simplifique a expressão obtida)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a segunda derivada da função
. O conteúdo envolvido é derivada de compostas e produto, então vamos usar a regra da cadeia e a regra do produto para achar
e depois
.
Passo 2
Derivando
usando regra da cadeia: definimos
, então
e
. Logo
Passo 3
Derivando
também por regra da cadeia: definimos
, então
e
. Logo
Passo 4
Somando as duas partes obtemos a primeira derivada
Passo 5
Agora vamos derivar a primeira parcela de
:
. Usando regra do produto e cadeia:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo
Passo 6
Agora derivamos a segunda parcela de
:
. Novamente produto e cadeia:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo
Passo 7
Somando
e
chegamos à segunda derivada e, em seguida, simplificamos em parte fatorando
: