Calcule a segunda derivada de cada função dada abaixo. (Obs. Simplifique a expressão obtida)
y=sin (raiz[3]x)+raiz[3]sin (x)

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar y'' para y=sin(raiz[3]x)+raiz[3]sin x. O conteúdo aqui é derivadas, e vamos precisar usar a regra da soma, a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro aplicamos a regra da soma e da cadeia:
Derivada de sin(raiz[3]x). Seja u=raiz[3]x=x^1/3. Então
ddxl[sin(u)r]=cos(u)cdot u' =cos(x^1/3)cdot 13x^-2/3=13x^-2/3cos(x^1/3)
Derivada de (sin x)^1/3. Seja v=sin x. Então
ddxl[v^1/3r]=13v^-2/3cdot v'=13(sin x)^-2/3cos x

Passo 3

Somando, a primeira derivada é
y'=13x^-2/3cos(x^1/3)+13(sin x)^-2/3cos x

Passo 4

Agora vamos calcular y'' derivando termo a termo usando produto e cadeia.

Passo 5

Para T1=tfrac13x^-2/3cos(x^1/3): seja f(x)=tfrac13x^-2/3, g(x)=cos(x^1/3). Então
f'(x)=-29x^-5/3, g'(x)=-sin(x^1/3)cdot13x^-2/3=-13x^-2/3sin(x^1/3)
Pela regra do produto,
T1'=f'g+fg'=-29x^-5/3cos(x^1/3)-19x^-4/3sin(x^1/3)

Passo 6

Para T2=tfrac13(sin x)^-2/3cos x: seja p(x)=tfrac13(sin x)^-2/3, q(x)=cos x. Então
p'(x)=-29(sin x)^-5/3cos x, q'(x)=-sin x
Pela regra do produto,
T2'=p'q+pq'=-29(sin x)^-5/3cos^2x-13(sin x)^1/3

Passo 7

Finalmente, somando T1' e T2', obtemos a segunda derivada.

Resposta

$$y’’=-\frac{2}{9}x{-5/3}\cos(x{1/3})-\frac{1}{9}x{-4/3}\sin(x{1/3})-\frac{2}{9}(\sin x){-5/3}\cos2x-\frac{1}{3}(\sin x)^{1/3}.
$$

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