As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico E e o campo magnético H, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue:
div E=0, div H=0, rot E=-1c partial Hpartial t, rot H=1c partial Epartial t
em que c é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
nabla^2 E=1c^2 partial^2 Epartial t^2.

Passo 1

Estamos derivando a equação de onda para o campo elétrico a partir das equações de Maxwell no vácuo. O conteúdo envolve cálculo vetorial e as equações de Maxwell sem cargas nem correntes. Vamos usar em especial a identidade vetorial
$$
abla \times (\nabla \times \vec{F}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{F}) - \nabla^2\vec{F}
$$
além das equações abla times (nabla times F) = nabla(nablacdotF) - nabla^2F , divE=0, divH=0 e rotE=-tfrac1ctfracpartial Hpartial t.

Passo 2

Aplicamos nablatimes na lei de Faraday rotE=-tfrac1ctfracpartial Hpartial t. Isso dá
nablatimes(nablatimesE) = -1c,nablatimespartial Hpartial t

Passo 3

No lado esquerdo usamos a identidade de duplo rot e, como divE=0, obtemos
nablatimes(nablatimesE) = nabla(nablacdotE) - nabla^2 E = -nabla^2 E

Passo 4

No lado direito temos
-1c,nablatimespartial Hpartial t = -1c,partialpartial t(nablatimesH)
Mas pela lei de Ampère sem correntes
nablatimesH = 1c,partial Epartial t
então
-nabla^2 E = -1c,partialpartial tl(1c,partial Epartial tr) = -1c^2,partial^2 Epartial t^2

Passo 5

Bastando multiplicar por -1, chegamos à equação de onda para o campo elétrico:
nabla^2 E = 1c^2,partial^2 Epartial t^2

Resposta

nabla^2 E=1c^2 partial^2 Epartial t^2

Exercícios relacionados