As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico
e o campo magnético
, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue:
em que
é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
.
Passo 1
Estamos derivando a equação de onda para o campo elétrico a partir das equações de Maxwell no vácuo. O conteúdo envolve cálculo vetorial e as equações de Maxwell sem cargas nem correntes. Vamos usar em especial a identidade vetorial
$$
abla \times (\nabla \times \vec{F}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{F}) - \nabla^2\vec{F}
$$
além das equações ,
,
e
.
além das equações
Passo 2
Aplicamos
na lei de Faraday
. Isso dá
Passo 3
No lado esquerdo usamos a identidade de duplo rot e, como
, obtemos
Passo 4
No lado direito temos
Mas pela lei de Ampère sem correntes
então
Passo 5
Bastando multiplicar por
, chegamos à equação de onda para o campo elétrico: