A expansão em série de Taylor da função
em torno do ponto
é:
a)
b)
c)
d)
e)
f) NDR
a)
b)
c)
d)
e)
f) NDR
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \frac{(x - 2)}{x^{2} - 4x + 5} $ e precisamos encontrar a sua expansão em série de Taylor em torno do ponto $ x = 2 $. Isso envolve usar conceitos de séries de Taylor e manipulações algébricas para reescrever a função de modo que possamos identificar a série correspondente entre as opções fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da função $ f(x) $. Observamos que:
Isso facilita a expressão da função:
Passo 3
Agora, para encontrar a série de Taylor em torno de $ x = 2 $, vamos fazer uma mudança de variável. Seja $ t = x - 2 $, então $ x = t + 2 $. Substituindo na função:
Passo 4
Queremos expandir $ f(x) $ em série de potências de $ t $. Observamos que a função $ \frac{t}{1 + t^{2}} $ pode ser manipulada para se parecer com a forma de uma série geométrica.
Sabemos que:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por $ t $, temos:
Substituindo de volta $ t = x - 2 $:
Resposta
A expansão em série de Taylor é:
b) $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} (x-2)^{2n+1} $