A expansão em série de Taylor da função f(x)=(x-2)x^2-4 x+5 em torno do ponto x=2 é:
a) sumn=1^infty(-1)^n(x-2)^n
b) sumn=0^infty(-1)^n(x-2)^2 n+1
c) sumn=1^infty(-1)^n 2^n(x-2)^2 n
d) sumn=1^infty (-1)^n(x-2)^2 n4^n+1
e) sumn=1^infty (-1)^n(x-2)^2 nn+1
f) NDR

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \frac{(x - 2)}{x^{2} - 4x + 5} $ e precisamos encontrar a sua expansão em série de Taylor em torno do ponto $ x = 2 $. Isso envolve usar conceitos de séries de Taylor e manipulações algébricas para reescrever a função de modo que possamos identificar a série correspondente entre as opções fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da função $ f(x) $. Observamos que:
f(x)
Isso facilita a expressão da função:
x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1

Passo 3

Agora, para encontrar a série de Taylor em torno de $ x = 2 $, vamos fazer uma mudança de variável. Seja $ t = x - 2 $, então $ x = t + 2 $. Substituindo na função:
x = 2

Passo 4

Queremos expandir $ f(x) $ em série de potências de $ t $. Observamos que a função $ \frac{t}{1 + t^{2}} $ pode ser manipulada para se parecer com a forma de uma série geométrica.
Sabemos que:
f(x)

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por $ t $, temos:
t
Substituindo de volta $ t = x - 2 $:
t1 + t^2 = t cdot sumn=0^infty (-1)^n t^2n = sumn=0^infty (-1)^n t^2n + 1

Resposta

A expansão em série de Taylor é:
b) $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} (x-2)^{2n+1} $

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