Identifique a função z=f(x, y) como combinação de funções elementares do cálculo e deduza que ela é contínua em seu domínio.
f(x, y)=4 x^2-y^22 x-y

Passo 1

A função dada é f(x,y)=4x^2-y^22x-y. O conteúdo envolve funções elementares de duas variáveis, mais precisamente polinômios e quocientes de polinômios, e o objetivo é mostrar que ela é contínua em seu domínio.

Passo 2

Para determinar o domínio de f, note que a única restrição vem do denominador não poder ser zero. Assim, o domínio é o conjunto de pares (x,y) tais que
2x - y neq 0

Passo 3

Sabemos que polinômios em x e y são funções contínuas em R^2. Logo: o numerador 4x^2 - y^2 e o denominador 2x - y são contínuos em R^2.

Passo 4

Pelo teorema da continuidade do quociente, se g e h são contínuas em um ponto e h não se anula nesse ponto, então g/h é contínua ali. Aplicando isso a g(x,y)=4x^2-y^2 e h(x,y)=2x-y, concluímos que f=g/h é contínua em todo ponto de seu domínio.

Resposta

A função é contínua em seu domínio: (x,y)in R^2:2x-yneq0, pois é quociente de polinômios com denominador não nulo.

Exercícios relacionados