Assinale se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique. Se for falsa, apresente um contra-exemplo.
( ) Um triângulo isósceles pode ser equilátero.
( ) Um triângulo obtusângulo pode ser isósceles.
( ) Um triângulo isósceles é sempre acutângulo.
( ) Um triângulo possui 3 ângulos externos.
( ) Um triângulo isósceles pode ser equilátero.
( ) Um triângulo obtusângulo pode ser isósceles.
( ) Um triângulo isósceles é sempre acutângulo.
( ) Um triângulo possui 3 ângulos externos.
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre tipos de triângulos e pede para assinalar se cada uma é verdadeira ou falsa, justificando quando for verdadeira e dando contra-exemplo quando for falsa. As quatro afirmações são:
(1) Um triângulo isósceles pode ser equilátero.
(2) Um triângulo obtusângulo pode ser isósceles.
(3) Um triângulo isósceles é sempre acutângulo.
(4) Um triângulo possui 3 ângulos externos.
(2) Um triângulo obtusângulo pode ser isósceles.
(3) Um triângulo isósceles é sempre acutângulo.
(4) Um triângulo possui 3 ângulos externos.
Informações relevantes fornecidas (implicitamente): estamos falando de triângulos no plano euclidiano e das classificações por lados (isósceles, equilátero) e por ângulos (acutângulo, obtusângulo), além do conceito de ângulo externo. A resolução deve decidir verdade/falsidade e justificar ou contrapor com exemplo.
Passo 2
Definições importantes (explicadas devagar, tipo bate-papo de estudo):
- Definição de triângulo isósceles: um triângulo é isósceles quando possui pelo menos duas arestas (lados) congruentes (iguais). Em linguagem simples: tem duas lados iguais. Isso implica que os dois ângulos opostos a esses lados também são iguais. Vou usar a definição inclusiva “pelo menos duas iguais” — que é a mais comum.
- Definição de triângulo equilátero: um triângulo é equilátero quando os três lados são iguais. Logo, todos os três ângulos internos valem
.
Comentário curto sobre definição: se você topar com uma definição diferente em algum livro que diga “isósceles = exatamente dois lados iguais”, precisamos ajustar; mas para provas e enunciados clássicos em geral a definição inclusiva vale e então equilátero é caso particular de isósceles.
Passo 3
Analisando a afirmação (1): “Um triângulo isósceles pode ser equilátero.”
Justificativa didática:
- Se um triângulo tem os três lados iguais, ele tem também duas quaisquer dos seus lados iguais (porque três iguais implica qualquer par igual). Portanto um triângulo equilátero satisfaz a condição “pelo menos duas arestas iguais” da definição de isósceles.
- Exemplo concreto para fixar: o triângulo com lados
, é equilátero e, ao mesmo tempo, tem dois lados iguais (na verdade três), então é isósceles segundo a definição inclusiva.
Conclusão: sob a definição usual (isósceles = pelo menos dois lados iguais), a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação (2): “Um triângulo obtusângulo pode ser isósceles.”
Primeiro, definição de obtusângulo: um triângulo é obtusângulo quando possui um ângulo interno maior que
. Os outros dois ângulos são menores que
e a soma dos três deve ser
.
Construção de um exemplo (didático):
- Considere um triângulo cujos ângulos internos sejam
,. A soma é , (verificação básica de que é um triângulo). - Nesse triângulo temos um ângulo
(maior que ) — logo é obtusângulo — e os outros dois ângulos são iguais ( e ), então é também isósceles (lados opostos a ângulos iguais são iguais).
Conclusão: existe triângulo obtusângulo que é isósceles; portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmação (3): “Um triângulo isósceles é sempre acutângulo.”
Definição de acutângulo: triângulo cujos três ângulos internos são menores que
.
Pensamento crítico e contra-exemplo:
- Se a afirmação fosse verdadeira, todo triângulo com dois lados iguais teria necessariamente todos os ângulos internos menores que
. Isso não é verdade. - Exemplo simples e direto (contra-exemplo): o triângulo com ângulos
, é isósceles (tem dois ângulos iguais, e ) mas não é acutângulo porque possui um ângulo igual a (é retângulo). Outro contra-exemplo: o triângulo , (do passo anterior) é isósceles mas obtusângulo. - Portanto nem sempre um isósceles é acutângulo.
Conclusão: a afirmação é falsa; o contra-exemplo
, demonstra isso.
Passo 6
Analisando a afirmação (4): “Um triângulo possui 3 ângulos externos.”
Explicação do que é ângulo externo no contexto padrão usado em geometria plana:
- Em um vértice do triângulo, o ângulo interno e o ângulo externo que se forma por prolongamento de um lado são um par linear: isto é, o ângulo externo é o suplemento do ângulo interno no mesmo vértice. Se o ângulo interno num vértice é
, o ângulo externo correspondente é , (medida positiva menor que ). - O triângulo tem três vértices; portanto, tomando em cada vértice o ângulo externo que é o suplemento do ângulo interno, obtemos exatamente três ângulos externos (um por vértice). Exemplo: se os ângulos internos são
, então os ângulos externos usuais são ,.
Observação sobre ambiguidade que às vezes aparece: tecnicamente em cada vértice há dois ângulos externos possíveis (prolongando um lado ou o outro), e ângulos reflexos etc., então poderia-se dizer que há infinitos “ângulos externos” se você permitir todos os modos de medir. Mas o uso padrão em exercícios escolares é contabilizar um ângulo externo por vértice — o suplemento do interno — e aí são três.
Conclusão: interpretando como é usual (um ângulo externo por vértice), a afirmação é verdadeira.
Resposta
(1) Verdadeira.
(2) Verdadeira.
(3) Falsa. Contra-exemplo: triângulo com ângulos ).
(4) Verdadeira.
(2) Verdadeira.
(3) Falsa. Contra-exemplo: triângulo com ângulos
(4) Verdadeira.