Quantas semirretas há em uma reta com origem em 5 pontos A, B, C, D e E ?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quantas semirretas há em uma reta com origem em 5 pontos A, B, C, D e E ?”\n
Informações relevantes fornecidas: os pontos A, B, C, D e E estão todos sobre a mesma reta e devemos contar todas as semirretas cuja origem é um desses pontos. Não há outras restrições (por exemplo, coincidência de pontos): considere que os 5 pontos são distintos.

Passo 2

Entendendo o que é uma semirreta (explicação didática):\n
  • Pense na reta como a reta real, ou seja, podemos associá-la à reta dos números reais \mathbb{R} para facilitar a intuição (qualquer reta pode ser parametrizada assim). Cada ponto da reta corresponde a um número real.\n
  • Se um ponto O corresponde ao número real o, então as duas semirretas com origem em O são os conjuntos
\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge o\}
e
\{x\in\mathbb{R}\mid x\le o\}.
Explicando em palavras: uma semirreta com origem em O é a metade da reta que contém O e todos os pontos de um dos lados de O. Há sempre duas metades possíveis (um lado ou o outro), e a origem O fica incluída.

Passo 3

Contagem inicial por ponto (passo de contagem simples):\n
Para cada ponto de origem escolhido — por exemplo A — existem exatamente duas semirretas: a que vai “para um lado” e a que vai “para o outro lado”. Logo, para cada um dos 5 pontos há \;2\; semirretas. Isso dá, numa contagem direta,
5 \times 2 = 10.

Passo 4

Verificando que não houve contagem dupla (prova de que as semirretas são distintas):\n
É preciso garantir que duas semirretas diferentes não foram contadas como distintas quando, na verdade, coincidem. Mostramos que isso não acontece:\n
  • Seja P e Q dois pontos distintos na reta, com coordenadas p e q e suponha, sem loss of generality, que p<q.\n
  • Compare a semirreta direita de P, que é \{x\mid x\ge p\}, com a semirreta direita de Q, que é \{x\mid x\ge q\}. O ponto p pertence à primeira mas não pertence à segunda (porque p<q), então essas duas semirretas não são iguais.\n
  • Analogamente, a semirreta esquerda de P, \{x\mid x\le p\}, difere da semirreta esquerda de Q, \{x\mid x\le q\}, porque q pertence à segunda mas não à primeira.\n
  • Também não é possível que a semirreta direita de um ponto coincida com a semirreta esquerda de outro, pois uma semirreta direita contém pontos maiores que sua origem enquanto uma semirreta esquerda contém pontos menores que sua origem; pontos distintos de origem impedem igualdade.\n
    Portanto, semirretas com origens diferentes são sempre distintas.

Passo 5

Conclusão final do raciocínio:\n
Como para cada um dos 5 pontos há exatamente \;2\; semirretas e nenhuma delas coincide com semirreta originada em ponto diferente, o número total de semirretas distintas é
5 \times 2 = 10.
Vai dar tudo certo na prova — lembra disso!

Resposta

10

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