Quantas semirretas há em uma reta com origem em 5 pontos
e
?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quantas semirretas há em uma reta com origem em
pontos
e
?”\n
Informações relevantes fornecidas: os pontos e
estão todos sobre a mesma reta e devemos contar todas as semirretas cuja origem é um desses pontos. Não há outras restrições (por exemplo, coincidência de pontos): considere que os
pontos são distintos.
Informações relevantes fornecidas: os pontos
Passo 2
Entendendo o que é uma semirreta (explicação didática):\n
- Pense na reta como a reta real, ou seja, podemos associá-la à reta dos números reais
para facilitar a intuição (qualquer reta pode ser parametrizada assim). Cada ponto da reta corresponde a um número real.\n - Se um ponto
corresponde ao número real , então as duas semirretas com origem em são os conjuntos
e
Explicando em palavras: uma semirreta com origem em
é a metade da reta que contém
e todos os pontos de um dos lados de
. Há sempre duas metades possíveis (um lado ou o outro), e a origem
fica incluída.
Passo 3
Contagem inicial por ponto (passo de contagem simples):\n
Para cada ponto de origem escolhido — por exemplo — existem exatamente duas semirretas: a que vai “para um lado” e a que vai “para o outro lado”. Logo, para cada um dos
pontos há
semirretas. Isso dá, numa contagem direta,
Para cada ponto de origem escolhido — por exemplo
Passo 4
Verificando que não houve contagem dupla (prova de que as semirretas são distintas):\n
É preciso garantir que duas semirretas diferentes não foram contadas como distintas quando, na verdade, coincidem. Mostramos que isso não acontece:\n
É preciso garantir que duas semirretas diferentes não foram contadas como distintas quando, na verdade, coincidem. Mostramos que isso não acontece:\n
- Seja
e dois pontos distintos na reta, com coordenadas e e suponha, sem loss of generality, que .\n - Compare a semirreta direita de
, que é , com a semirreta direita de , que é . O ponto pertence à primeira mas não pertence à segunda (porque ), então essas duas semirretas não são iguais.\n - Analogamente, a semirreta esquerda de
, , difere da semirreta esquerda de , , porque pertence à segunda mas não à primeira.\n - Também não é possível que a semirreta direita de um ponto coincida com a semirreta esquerda de outro, pois uma semirreta direita contém pontos maiores que sua origem enquanto uma semirreta esquerda contém pontos menores que sua origem; pontos distintos de origem impedem igualdade.\n
Portanto, semirretas com origens diferentes são sempre distintas.
Passo 5
Conclusão final do raciocínio:\n
Como para cada um dos pontos há exatamente
semirretas e nenhuma delas coincide com semirreta originada em ponto diferente, o número total de semirretas distintas é
Como para cada um dos
Vai dar tudo certo na prova — lembra disso!