Assinale a alternativa que apresenta equações paramétricas da reta r, sabendo-se que o ponto A , cujas coordenadas são ( 2,-3,4 ), pertence a r e que r é ortogonal às retas
r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=-2+t \\\ y=-t \\\ z=-3\end{array} \quad\right. e \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{l}y=-x-1 \\\ z=3\end{array}\right..
(e) r:\left\{\begin{array}{l}x=2+6 t \\\ y=-3+6 t \\\ z=4-t\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados relevantes):
  • O ponto A\) tem coordenadas \(A=(2,-3,4)\) e pertence à reta \(r\). - A reta \(r\) é ortogonal às retas \(r_{1}\) e \(r_{2}\). - A reta \(r_{1}\) é dada por \[r_{1}:\begin{cases}x=-2+t\\[4pt] y=-t\\[4pt] z=-3\end{cases}
  • A reta (r_{2}] é dada por
    r_{2}:\begin{cases}y=-x-1\\[4pt] z=3\end{cases}
  • A alternativa (e) proposta é a reta
r:\begin{cases}x=2+6t\\[4pt] y=-3+6t\\[4pt] z=4-t\end{cases}.
O que precisamos verificar para aceitar a alternativa (e):
  1. Que o ponto A está na reta r (ou seja, existe t tal que as coordenadas coincidem).
  2. Que o vetor diretor de r é ortogonal aos vetores diretores de r_{1} e de r_{2}.]

Passo 2

Extrair os vetores diretores de r_{1} e r_{2}.
  • Para r_{1} a forma paramétrica já está explícita: variando t temos deslocamento (\Delta x,\Delta y,\Delta z)=(1,-1,0). Logo o vetor diretor é
v_{1}=(1,-1,0).
  • Para r_{2} é preciso parametrizar. Tomando um parâmetro s e escolhendo x=s, a reta fica
x=s,\qquad y=-s-1,\qquad z=3.
O vetor diretor resultante (variação quando s aumenta em 1) é
v_{2}=(1,-1,0).
Observação: pegou-se o vetor diretor de r_{2} da parametrização que foi obtida a partir das equações dadas. Repare que v_{1}=v_{2}, ou seja, r_{1} e r_{2} são paralelas (mesma direção), embora estejam em planos z=-3 e z=3 diferentes.

Passo 3

Determinar o vetor diretor e verificar se [A) pertence à reta proposta na alternativa (e).
Da alternativa (e), a reta é
r:\begin{cases}x=2+6t\\[4pt] y=-3+6t\\[4pt] z=4-t\end{cases}.
O vetor diretor dessa reta é o coeficiente de (t]:
w=(6,6,-1).
Verificar se A=(2,-3,4) pertence: coloque t=0 e obtém-se
(2+6\cdot 0,\\\ -3+6\cdot 0,\\\ 4-0)=(2,-3,4)=A.
Portanto A está na reta r (basta t=0).]

Passo 4

Relembrar a condição de ortogonalidade e como verificar com produto escalar.
  • Para dois vetores \,a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3)\, o produto escalar é
a\cdot b = a_1b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
  • Dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar for zero: a\cdot b=0.
Vamos aplicar isso entre w e v_{1}, e entre w e v_{2}.

Passo 5

Calcular os produtos escalares passo a passo.
  • Com v_{1}=(1,-1,0) e w=(6,6,-1):
w\cdot v_{1} = 6\cdot 1 + 6\cdot(-1) + (-1)\cdot 0 = 6 - 6 + 0 = 0.
  • Como v_{2}=v_{1}, o produto com v_{2} é o mesmo:
w\cdot v_{2} = 0.
Então w é ortogonal aos vetores diretores de r_{1} e r_{2}.

Passo 6

Conclusão e observação final.
  • A alternativa (e) fornece uma reta que passa por A (verificado em Passo 3) e cujo vetor diretor é ortogonal aos vetores diretores de r_{1} e r_{2} (verificado nos Passos 4–5).
  • Portanto a alternativa (e) cumpre as condições do enunciado.
Observação pedagógica rápida: como r_{1} e r_{2} são paralelas (mesmo vetor diretor), qualquer reta que passe por A e tenha vetor diretor perpendicular a (1,-1,0) será ortogonal a ambas; por isso há infinitas retas possíveis, e a alternativa (e) é uma delas.

Resposta

(e)

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