Assinale a alternativa que apresenta equações paramétricas da reta r, sabendo-se que o ponto A , cujas coordenadas são ( 2,-3,4 ), pertence a r e que r é ortogonal às retas r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=-2+t \\\ y=-t \\\ z=-3\end{array} \quad\right. e \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{l}y=-x-1 \\\ z=3\end{array}\right..
(e) r:\left\{\begin{array}{l}x=2+6 t \\\ y=-3+6 t \\\ z=4-t\end{array}\right..
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados relevantes):
O ponto A\) tem coordenadas \(A=(2,-3,4)\) e pertence à reta \(r\).
- A reta \(r\) é ortogonal às retas \(r_{1}\) e \(r_{2}\).
- A reta \(r_{1}\) é dada por
\[r_{1}:\begin{cases}x=-2+t\\[4pt] y=-t\\[4pt] z=-3\end{cases}
A reta (r_{2}] é dada por r_{2}:\begin{cases}y=-x-1\\[4pt] z=3\end{cases}
O que precisamos verificar para aceitar a alternativa (e):
Que o ponto A está na reta r (ou seja, existe t tal que as coordenadas coincidem).
Que o vetor diretor de r é ortogonal aos vetores diretores de r_{1} e de r_{2}.]
Passo 2
Extrair os vetores diretores de r_{1} e r_{2}.
Para r_{1} a forma paramétrica já está explícita: variando t temos deslocamento (\Delta x,\Delta y,\Delta z)=(1,-1,0). Logo o vetor diretor é
v_{1}=(1,-1,0).
Para r_{2} é preciso parametrizar. Tomando um parâmetro s e escolhendo x=s, a reta fica
x=s,\qquad y=-s-1,\qquad z=3.
O vetor diretor resultante (variação quando s aumenta em 1) é
v_{2}=(1,-1,0).
Observação: pegou-se o vetor diretor de r_{2} da parametrização que foi obtida a partir das equações dadas. Repare que v_{1}=v_{2}, ou seja, r_{1} e r_{2} são paralelas (mesma direção), embora estejam em planos z=-3 e z=3 diferentes.
Passo 3
Determinar o vetor diretor e verificar se [A) pertence à reta proposta na alternativa (e).
Então w é ortogonal aos vetores diretores de r_{1} e r_{2}.
Passo 6
Conclusão e observação final.
A alternativa (e) fornece uma reta que passa por A (verificado em Passo 3) e cujo vetor diretor é ortogonal aos vetores diretores de r_{1} e r_{2} (verificado nos Passos 4–5).
Portanto a alternativa (e) cumpre as condições do enunciado.
Observação pedagógica rápida: como r_{1} e r_{2} são paralelas (mesmo vetor diretor), qualquer reta que passe por A e tenha vetor diretor perpendicular a (1,-1,0) será ortogonal a ambas; por isso há infinitas retas possíveis, e a alternativa (e) é uma delas.