Assinale na alternativa que considerar correta em cada item:
Qual o centróide da regiāo plana A=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 3 e 0 <= y <= raiz9-x^2 ?
(a) (43 pi, 43 pi)
(b) (83 pi, 83 pi)
© (4pi, 4pi)
(d) (4 pi3, 4 pi3)
© (4 pi, 4 pi)
Nota: square

Passo 1

Temos a região A definida por 0 <= x <= 3 e 0 <= y <= raiz9 - x^2. Observamos que isso corresponde a um quarto de disco de raio 3 no primeiro quadrante. O conteúdo envolvido é o cálculo de centróide de lâmina plana, que exige a área e os momentos de primeira ordem.

Passo 2

As coordenadas do centróide (bar x,bar y) de uma lâmina plana são dadas por:
bar x = 1A integral duplaA x ,dA, bar y = 1A integral duplaA y ,dA

Passo 3

Primeiro calculamos a área A da região A:
A = integral0^3 integral0^raiz9 - x^2 dy ,dx = integral0^3 raiz9 - x^2 ,dx = 9pi4

Passo 4

Agora calculamos bar x:
bar x = 1A integral0^3 integral0^raiz9 - x^2 x ,dy ,dx = 1A integral0^3 xraiz9 - x^2 ,dx
Fazendo a substituição u = 9 - x^2, du = -2x,dx, obtemos
integral0^3 xraiz9 - x^2 ,dx = -13 l(9 - x^2r)^3/2|0^3 = 9
Logo
bar x = 9A = 99pi/4 = 4pi

Passo 5

Por simetria do quarto de círculo, bar y = bar x = 4pi
Comparando com as alternativas, a única que coincide é
(tfrac4pi,tfrac4pi).

Resposta

(4pi, 4pi)

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