Assinale a alternativa que contenha:
\iint_{D} e^{x^{2}+y^{2}} d x d y
Sendo que D é a região compreendida entre as curvas:
\begin{aligned} & x^{2}+y^{2}=25 \\\ & x^{2}+y^{2}=36 \end{aligned}
(A)
\pi(e-5) . .
(B)
2 \pi(e+6) \cdot \cdot
(C)
2 \pi e .
(D)
\pi\left(e^{9}-2^{e}\right) \ldots
(E)
\pi\left(e^{36}-e^{25}\right)

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
\iint_{D} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy
onde D é a região compreendida entre as curvas
x^{2}+y^{2}=25
e
x^{2}+y^{2}=36.
Informações importantes dadas:
  • A região D é o anel (ou casca) entre os círculos de raio5e6.
  • Queremos o valor numérico da integral dupla sobre essa região.
]

Passo 2

Por que mudar de coordenadas? A função a integrar é e^{x^{2}+y^{2}}. Note que x^{2}+y^{2} depende apenas da distância ao origem, não da direção. Isso sugere usar coordenadas polares, onde expressamos pontos por (r,\theta) em vez de (x,y).
Conceitos essenciais (mini-aula):
\text{Em coordenadas polares: } x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta.
O elemento de área dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta. Esse fator r é o determinante da transformação (Jacobiando) e aparece sempre que fazemos integrais duplas em polares. Em fórmulas:
\iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{\theta_{\min}}^{\theta_{\max}}\int_{r_{\min}(\theta)}^{r_{\max}(\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta.
Aqui f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}} fica f=r\mapsto e^{r^{2}} (depende só de r), o que simplifica muito.

Passo 3

Determinar os limites em polares para D.
A equação x^{2}+y^{2}=25 vira r^{2}=25, ou seja r=5.
A equação x^{2}+y^{2}=36 vira r^{2}=36, ou seja r=6.
Como D é a região entre esses dois círculos ao redor da origem, r varia de 5 até 6. A região cobre todas as direções, então \theta varia de 0 até 2\pi.
Logo os limites são
0\le \theta\le 2\pi,\qquad 5\le r\le 6.

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas polares usando o que aprendemos:
\iint_{D} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\int_{5}^{6} e^{r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.
Expliquei antes por que aparece o r: é o Jacobiano da mudança (x,y)\mapsto(r,\theta).

Passo 5

Calcular a integral interna em r. Fazemos a substituição natural para integrar e^{r^{2}}r.
Defina
u = r^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr = \tfrac{1}{2}\,du.
Quando r=5, u=25. Quando r=6, u=36. Assim
\int_{5}^{6} e^{r^{2}}\,r\,dr = \frac{1}{2}\int_{25}^{36} e^{u}\,du.
Integrando e^{u} obtemos
\frac{1}{2}\left[e^{u}\right]_{25}^{36} = \frac{1}{2}\left(e^{36}-e^{25}\right).

Passo 6

Agora integramos em \theta. A integral externa é simplesmente \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. Multiplicando:
\iint_{D} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}\left(e^{36}-e^{25}\right)\right)d\theta = 2\pi\cdot \frac{1}{2}\left(e^{36}-e^{25}\right).
Isso simplifica para
\pi\left(e^{36}-e^{25}\right).

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas, a expressão encontrada corresponde exatamente à alternativa (E).

Resposta

(E) \pi\left(e^{36}-e^{25}\right)

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