Assinale a alternativa que contenha:
Sendo que
é a região compreendida entre as curvas:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
onde
é a região compreendida entre as curvas
e
Informações importantes dadas:
- •A região
é o anel (ou casca) entre os círculos de raio5e6. - •Queremos o valor numérico da integral dupla sobre essa região.
Passo 2
Por que mudar de coordenadas? A função a integrar é
. Note que
depende apenas da distância ao origem, não da direção. Isso sugere usar coordenadas polares, onde expressamos pontos por
em vez de
.
Conceitos essenciais (mini-aula):
O elemento de área
transforma-se em
. Esse fator
é o determinante da transformação (Jacobiando) e aparece sempre que fazemos integrais duplas em polares. Em fórmulas:
Aqui
fica
(depende só de
), o que simplifica muito.
Passo 3
Determinar os limites em polares para
.
A equação
vira
, ou seja
.
A equação vira
, ou seja
.
Como é a região entre esses dois círculos ao redor da origem,
varia de
até
. A região cobre todas as direções, então
varia de
até
.
A equação
Como
Logo os limites são
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas polares usando o que aprendemos:
Expliquei antes por que aparece o
: é o Jacobiano da mudança
.
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Fazemos a substituição natural para integrar
.
Defina
Quando
,
. Quando
,
. Assim
Integrando
obtemos
Passo 6
Agora integramos em
. A integral externa é simplesmente
. Multiplicando:
Isso simplifica para
Passo 7
Comparando com as alternativas fornecidas, a expressão encontrada corresponde exatamente à alternativa (E).
Resposta
(E)