Questão 7. Se f for contínua, mostre que:
\int_{0}^{x} \int_{0}^{y} \int_{0}^{z} f(t) d t d z d y=\frac{1}{2} \int_{0}^{x}(x-t)^{2} f(t) d t

Passo 1

O enunciado dá que f é contínua (em algum intervalo que contenha [0,x]) e pede para mostrar a igualdade
\int_{0}^{x} \int_{0}^{y} \int_{0}^{z} f(t)\,dt\,dz\,dy=\frac{1}{2}\int_{0}^{x}(x-t)^{2}f(t)\,dt.
Informações relevantes que temos: a integral iterada à esquerda é sobre as variáveis t,z,y com limites aninhados 0\le t\le z\le y\le x. A continuidade de f garante que todas as integrais são bem definidas (integráveis) e permite reordenar integrais quando for necessário.

Passo 2

Idéia geral (explicação didática do método): vamos reescrever a integral tripla trocando a ordem de integração de modo a destacar uma integral em t multiplicada por uma quantidade que vem só da geometria dos limites. Em termos simples: a integral
\int_{0}^{x}\int_{0}^{y}\int_{0}^{z} f(t)\,dt\,dz\,dy
é a integral da função f(t) sobre o conjunto de pontos (t,z,y) com 0\le t\le z\le y\le x. Para cada t fixo, f(t) é constante quando integrarmos em z e y, então podemos tirar f(t) para fora das integrais internas e multiplicá-lo pela “medida” (o comprimento/área apropriada) do conjunto de (z,y) tais que t\le z\le y\le x. Esse procedimento é justificado pela continuidade (ou integrabilidade) via o teorema de Fubini (permite trocar a ordem de integração e agrupar por t).

Passo 3

Descrever o domínio e preparar a mudança: o domínio da integração é
D=\{(t,z,y)\mid 0\le t\le z\le y\le x\}.
Fixando t com 0\le t\le x, os pares (z,y) admissíveis satisfazem t\le z\le y\le x. Assim podemos escrever a integral tripla como
\int_{0}^{x}\left( \int_{y=t}^{x}\int_{z=t}^{y} f(t)\,dz\,dy\right) dt.
Aqui, para cada t o integrando interno não depende de z nem de y (é apenas f(t)), então podemos tirar f(t) para fora da integral dupla em (z,y).

Passo 4

Calcular a integral dupla que dá a “medida” do conjunto \{(z,y):t\le z\le y\le x\}. Para t fixo temos
\int_{y=t}^{x}\int_{z=t}^{y} 1\,dz\,dy = \int_{y=t}^{x} (y-t)\,dy.
Agora integramos (y-t) em relação a y:
\int_{y=t}^{x} (y-t)\,dy = \left[\frac{(y-t)^{2}}{2}\right]_{y=t}^{y=x} = \frac{(x-t)^{2}}{2}.

Passo 5

Voltar para a integral em t. Usando o resultado do passo anterior, a integral tripla fica
\int_{0}^{x}\left( f(t)\cdot \frac{(x-t)^{2}}{2}\right) dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{x}(x-t)^{2}f(t)\,dt,
que é exatamente a igualdade pedida.

Passo 6

Checagem rápida com um exemplo simples para ganhar confiança: se escolhermos f(t)=1, a esquerda é o volume do conjunto \{0\le t\le z\le y\le x\}, cuja medida é x^{3}/6. A direita dá
\frac{1}{2}\int_{0}^{x}(x-t)^{2}\,dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{6},
coincidindo, o que confirma a fórmula em um caso concreto.

Resposta

\int_{0}^{x} \int_{0}^{y} \int_{0}^{z} f(t)\,dt\,dz\,dy=\frac{1}{2} \int_{0}^{x}(x-t)^{2} f(t)\,dt

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