Questão 7. Se
for contínua, mostre que:
Passo 1
O enunciado dá que
é contínua (em algum intervalo que contenha
) e pede para mostrar a igualdade
Informações relevantes que temos: a integral iterada à esquerda é sobre as variáveis
com limites aninhados
. A continuidade de
garante que todas as integrais são bem definidas (integráveis) e permite reordenar integrais quando for necessário.
Passo 2
Idéia geral (explicação didática do método): vamos reescrever a integral tripla trocando a ordem de integração de modo a destacar uma integral em
multiplicada por uma quantidade que vem só da geometria dos limites. Em termos simples: a integral
é a integral da função
sobre o conjunto de pontos
com
. Para cada
fixo,
é constante quando integrarmos em
e
, então podemos tirar
para fora das integrais internas e multiplicá-lo pela “medida” (o comprimento/área apropriada) do conjunto de
tais que
. Esse procedimento é justificado pela continuidade (ou integrabilidade) via o teorema de Fubini (permite trocar a ordem de integração e agrupar por
).
Passo 3
Descrever o domínio e preparar a mudança: o domínio da integração é
Fixando
com
, os pares
admissíveis satisfazem
. Assim podemos escrever a integral tripla como
Aqui, para cada
o integrando interno não depende de
nem de
(é apenas
), então podemos tirar
para fora da integral dupla em
.
Passo 4
Calcular a integral dupla que dá a “medida” do conjunto
. Para
fixo temos
Agora integramos
em relação a
:
Passo 5
Voltar para a integral em
. Usando o resultado do passo anterior, a integral tripla fica
que é exatamente a igualdade pedida.
Passo 6
Checagem rápida com um exemplo simples para ganhar confiança: se escolhermos
, a esquerda é o volume do conjunto
, cuja medida é
. A direita dá
coincidindo, o que confirma a fórmula em um caso concreto.