Questão 9. Se C_{1}, C_{2} e C_{3} são os cilindros x^{2}+y^{2}=1, y^{2}+z^{2}=1 e x^{2}+z^{2}=1, calcule o volume da interseção C_{1} \cap C_{2} \cap C_{3}.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região formada pela interseção dos três cilindros
C_{1}:\;x^{2}+y^{2}=1,\qquad C_{2}:\;y^{2}+z^{2}=1,\qquad C_{3}:\;x^{2}+z^{2}=1.
Informações dadas:
\text{Queremos } \mathrm{Vol}\big(C_{1}\cap C_{2}\cap C_{3}\big)=\mathrm{Vol}\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}\le1,\;y^{2}+z^{2}\le1,\;x^{2}+z^{2}\le1\}.
Não há outras hipóteses escondidas; a região é simétrica em relação às três coordenadas.

Passo 2

Por simetria (a região é invariante pela troca de sinal de x,y,z), podemos calcular o volume somente no primeiro octante \{x\ge0,y\ge0,z\ge0\} e multiplicar por 8. Definimos
V=\mathrm{Vol}\big(C_{1}\cap C_{2}\cap C_{3}\big)=8V_{1},
onde V_{1} é o volume da interseção restrita a x,y,z\ge0.

Passo 3

Na primeira octante, a condição x^{2}+y^{2}\le1 determina que a projeção da região sobre o plano xy é o quarto de disco
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^{2}+y^{2}\le1\}.
Para um ponto fixo (x,y)\in D, as duas desigualdades que envolvem z são
y^{2}+z^{2}\le1\quad\Rightarrow\quad z\le\sqrt{1-y^{2}},
x^{2}+z^{2}\le1\quad\Rightarrow\quad z\le\sqrt{1-x^{2}}.
Como z\ge0, o limite superior para z é o mínimo entre essas duas raízes. Logo
V_{1}=\iint_{D}\min\big(\sqrt{1-x^{2}},\sqrt{1-y^{2}}\big)\,dA.

Passo 4

Dentro do quarto de disco D podemos dividir em duas partes pelo traço x=y. Se x\ge y então \sqrt{1-x^{2}}\le\sqrt{1-y^{2}} e o mínimo é \sqrt{1-x^{2}}. Se y\ge x o mínimo é \sqrt{1-y^{2}}. Essas duas partes são simétricas trocando x por y, portanto
V_{1}=2\iint_{D_{+}}\sqrt{1-x^{2}}\,dA,
onde D_{+}=\{(x,y)\in D\mid 0\le y\le x\} (a metade do quarto de disco abaixo da reta y=x).

Passo 5

Agora colocamos o integral em coordenadas cartesianas. Para x entre 0 e 1 a projeção vertical tem y variando de 0 até \sqrt{1-x^{2}}, mas em D_{+} o limite superior é \min(x,\sqrt{1-x^{2}}). Logo
V_{1}=2\left[\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\left(\int_{0}^{x}\sqrt{1-x^{2}}\,dy\right)dx+\int_{1/\sqrt{2}}^{1}\left(\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\sqrt{1-x^{2}}\,dy\right)dx\right].
Expliquei a quebra em x=1/\sqrt{2} porque a igualdade x=\sqrt{1-x^{2}} x^{2}=1/2, isto é x=1/\sqrt{2}. Nas duas faixas o limite superior de y muda entre x e \sqrt{1-x^{2}}.

Passo 6

Avaliamoas os integrais internos: na primeira parte a integração em y dá multiplicação por x, na segunda dá multiplicação por \sqrt{1-x^{2}}. Assim
V_{1}=2\left[\int_{0}^{1/\sqrt{2}} x\sqrt{1-x^{2}}\,dx+\int_{1/\sqrt{2}}^{1}(1-x^{2})\,dx\right].
Calcule o primeiro integral com a substituição u=1-x^{2}, du=-2x\,dx:
\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=-\tfrac{1}{3}(1-x^{2})^{3/2}.
Avaliado de 0 até 1/\sqrt{2} isso dá
\int_{0}^{1/\sqrt{2}} x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\frac{1}{3}-\frac{1}{6\sqrt{2}}.
Agora o segundo integral é direto:
\int_{1/\sqrt{2}}^{1}(1-x^{2})\,dx=\Big[x-\tfrac{x^{3}}{3}\Big]_{1/\sqrt{2}}^{1} = \frac{2}{3}-\frac{5}{6\sqrt{2}}.
Somando as duas parcelas dentro dos colchetes temos
\frac{1}{3}-\frac{1}{6\sqrt{2}}+\frac{2}{3}-\frac{5}{6\sqrt{2}}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto
V_{1}=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=2-\sqrt{2}.

Passo 7

Voltando ao volume total e lembrando do fator 8 (os oito octantes),
V=8V_{1}=8\big(2-\sqrt{2}\big)=16-8\sqrt{2}.

Resposta

16-8\sqrt{2}

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