Questão 9. Se
e
são os cilindros
e
, calcule o volume da interseção
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região formada pela interseção dos três cilindros
Informações dadas:
Não há outras hipóteses escondidas; a região é simétrica em relação às três coordenadas.
Passo 2
Por simetria (a região é invariante pela troca de sinal de
), podemos calcular o volume somente no primeiro octante
e multiplicar por
. Definimos
onde
é o volume da interseção restrita a
.
Passo 3
Na primeira octante, a condição
determina que a projeção da região sobre o plano
é o quarto de disco
Para um ponto fixo
, as duas desigualdades que envolvem
são
Como
, o limite superior para
é o mínimo entre essas duas raízes. Logo
Passo 4
Dentro do quarto de disco
podemos dividir em duas partes pelo traço
. Se
então
e o mínimo é
. Se
o mínimo é
. Essas duas partes são simétricas trocando
por
, portanto
onde
(a metade do quarto de disco abaixo da reta
).
Passo 5
Agora colocamos o integral em coordenadas cartesianas. Para
entre
e
a projeção vertical tem
variando de
até
, mas em
o limite superior é
. Logo
Expliquei a quebra em
porque a igualdade
dá
, isto é
. Nas duas faixas o limite superior de
muda entre
e
.
Passo 6
Avaliamoas os integrais internos: na primeira parte a integração em
dá multiplicação por
, na segunda dá multiplicação por
. Assim
Calcule o primeiro integral com a substituição
,
:
Avaliado de
até
isso dá
Agora o segundo integral é direto:
Somando as duas parcelas dentro dos colchetes temos
Portanto
Passo 7
Voltando ao volume total e lembrando do fator
(os oito octantes),