Assinale a alternativa que contenhas as derivadas parciais de:
(A)
e
(B)
e
(C)
e
(D)
e
(E)
e
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para identificar quais são as derivadas parciais
e
entre as alternativas (A) a (E). Informação relevante: a função é escrita como uma raiz quadrada do soma dos quadrados das variáveis; as alternativas apresentam diferentes formas algébricas para
e
.
Nada aqui ainda foi calculado — só estamos listando o que foi dado e o que se pede.
Nada aqui ainda foi calculado — só estamos listando o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Vamos reescrever a função de forma que seja fácil aplicar regras de diferenciação:
Para encontrar a derivada parcial
tratamos
como constante e diferenciamos em relação a
. Usamos duas ideias simples:
- Regra da potência: a derivada de
em relação a é . - Regra da cadeia: se
, então . Aqui e .
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia passo a passo para
:
- Derivada externa: se
, então . - Derivada interna em relação a
: se , então (porque é constante ao diferenciar por ). - Multiplicando:
Simplificando os fatores
e
:
Escrevendo com raiz:
Passo 4
Agora
: por simetria, tratamos
como constante e diferenciamos em relação a
. Mesmas etapas:
- Derivada externa:
. - Derivada interna em relação a
: . - Multiplicando:
Em forma de raiz:
Passo 5
Observação importante sobre o ponto
: as fórmulas acima contêm divisão por
, que é zero em
. Isso significa que as expressões dadas valem apenas quando
. De fato, as derivadas parciais em
não existem porque, por exemplo,
tem limites laterais diferentes quando
e
. Logo não existe derivada parcial em
. Mas para a questão de comparar alternativas, procuramos a forma correta para
.
Passo 6
Comparando com as alternativas dadas, a alternativa que coincide com os resultados que encontramos é:
Se quiser um exemplo numérico rápido: em
temos
, então
e
— faz sentido geométrica e numericamente.
Resposta
(D)