Assinale a alternativa que contenhas as derivadas parciais de:
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
(A) f_{x}(x, y)=x\left(x^{2}\right) e f_{y}(x, y)=y\left(y^{2}\right)
(B) f_{x}(x, y)=x\left(x^{2}+y^{2}\right) e f_{y}(x, y)=y\left(x^{2}+y^{2}\right)
(C) f_{x}(x, y)=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x} e f_{y}(x, y)=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)}{y}
(D) f_{x}(x, y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} e f_{y}(x, y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
(E) f_{x}(x, y)=2 x\left(x^{2}+y^{2}\right) e f_{y}(x, y)=2 y\left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e pede para identificar quais são as derivadas parciais f_{x}(x,y) e f_{y}(x,y) entre as alternativas (A) a (E). Informação relevante: a função é escrita como uma raiz quadrada do soma dos quadrados das variáveis; as alternativas apresentam diferentes formas algébricas para f_{x} e f_{y}.
Nada aqui ainda foi calculado — só estamos listando o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Vamos reescrever a função de forma que seja fácil aplicar regras de diferenciação:
f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{1/2}.
Para encontrar a derivada parcial \,f_{x}(x,y)\, tratamos y como constante e diferenciamos em relação a x. Usamos duas ideias simples:
  • Regra da potência: a derivada de \,u^{n}\, em relação a u é \,n u^{n-1}\,.
  • Regra da cadeia: se f(x)=g(h(x)), então f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x). Aqui g(u)=u^{1/2} e u(x,y)=x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia passo a passo para \,f_{x}(x,y)\,:
  1. Derivada externa: se g(u)=u^{1/2}, então g'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}.
  2. Derivada interna em relação a x: se u(x,y)=x^{2}+y^{2}, então \partial u/\partial x=2x (porque y^{2} é constante ao diferenciar por x).
  3. Multiplicando:
f_{x}(x,y)=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x.
Simplificando os fatores 1/2 e 2:
f_{x}(x,y)=x\,(x^{2}+y^{2})^{-1/2}.
Escrevendo com raiz:
f_{x}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 4

Agora \,f_{y}(x,y)\,: por simetria, tratamos x como constante e diferenciamos em relação a y. Mesmas etapas:
  1. Derivada externa: \tfrac{1}{2}u^{-1/2}.
  2. Derivada interna em relação a y: \partial u/\partial y=2y.
  3. Multiplicando:
f_{y}(x,y)=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2y = y\,(x^{2}+y^{2})^{-1/2}.
Em forma de raiz:
f_{y}(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 5

Observação importante sobre o ponto (0,0): as fórmulas acima contêm divisão por \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que é zero em (0,0). Isso significa que as expressões dadas valem apenas quando (x,y)\neq(0,0). De fato, as derivadas parciais em (0,0) não existem porque, por exemplo,
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{\sqrt{h^{2}}}{h}=\frac{|h|}{h}
tem limites laterais diferentes quando h\to0^{+} e h\to0^{-}. Logo não existe derivada parcial em (0,0). Mas para a questão de comparar alternativas, procuramos a forma correta para (x,y)\neq(0,0).

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, a alternativa que coincide com os resultados que encontramos é:
f_{x}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\qquad f_{y}(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Se quiser um exemplo numérico rápido: em (3,4) temos \sqrt{3^{2}+4^{2}}=5, então f_{x}(3,4)=3/5 e f_{y}(3,4)=4/5 — faz sentido geométrica e numericamente.

Resposta

(D)

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