Escolha, dentre as alternativas abaixo, aquela que contenha as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(A)
e
.
(B)
e
(C)
e
.
(D)
e
…
(E)
e
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede que escolhamos, entre as alternativas dadas, aquela que contém as derivadas parciais de segunda ordem de
. Informações relevantes do enunciado: a função
está explícita em termos de
e
; precisamos calcular
e
.
Nada mais é fornecido na figura ou tabela, então vamos calcular diretamente as derivadas.
Nada mais é fornecido na figura ou tabela, então vamos calcular diretamente as derivadas.
Passo 2
Calcular a derivada parcial de primeira ordem de
em relação a
, ou seja
. Lembre que ao derivar em relação a
tratamos
como constante.
- Derivada de
em relação a : é constante, então . - Derivada de
em relação a : é , pois não depende de . - Derivada de
em relação a : é constante, então .
Portanto,
Passo 3
Calcular a derivada parcial de primeira ordem de
em relação a
, ou seja
. Agora tratamos
como constante.
- Derivada de
em relação a : é constante, então . - Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : é constante, então .
Portanto,
Passo 4
Calcular
, a derivada parcial de segunda ordem em
, ou seja
.
Partimos de .
Partimos de
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : .
Somando,
Explicação didática rápida:
é tratado como constante, por isso sai como fator em ambas as derivadas.
Passo 5
Calcular
, que é
.
Temos .
Temos
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : (pois é constante quando derivamos em ).
Logo,
Passo 6
Calcular
, que é
.
Temos .
Temos
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : (não depende de ). - Derivada de
em relação a : .
Portanto,
Observação útil para a prova: como
é formada por funções elementares (polinômio,
,
), as segundas derivadas são contínuas e portanto os mistos concordam, isto é
— e aqui ambos são
.
Passo 7
Calcular
, a derivada parcial de segunda ordem em
, ou seja
.
Partimos de .
Partimos de
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : .
Assim,
Passo 8
Resumo das derivadas encontradas:
Comparando com as alternativas fornecidas, a que coincide exatamente com essas expressões é a alternativa (E).
Resposta
E