Escolha, dentre as alternativas abaixo, aquela que contenha as derivadas parciais de segunda ordem da função:
g(x)=x^{2} y+\cos y+y \operatorname{sen} x
(A) g_{x x}(x, y)=2 y-\operatorname{sen} y ; g_{x y}(x, y) e g_{y x}(x y)=x+\operatorname{sen} y ; g_{y y}(x, y)=-\cos x ..
(B) g_{x x}(x, y)=y+x ; g_{x y}(x, y) e g_{y x}(x y)=\operatorname{sen} x+\cos x ; g_{y y}(x, y)=\operatorname{sen} y . \cdots
(C) g_{x x}(x, y)=y+\operatorname{sen} y ; g_{x y}(x, y) e g_{y x}(x y)=x+\cos x ; g_{y y}(x, y)=\cos x y_{*}.
(D) g_{x x}(x, y)=y^{2}+\operatorname{sen} y ; g_{x y}(x, y) e g_{y x}(x y)=x^{2}+\cos x ; g_{y y}(x, y)=-\operatorname{sen} x
(E) g_{x x}(x, y)=2 y-y \operatorname{sen} x ; g_{x y}(x, y) e g_{y x}(x y)=2 x+\cos x ; g_{y y}(x, y)=-\cos y . \ldots

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(x)=x^{2}y+\cos y+y\sin x
e pede que escolhamos, entre as alternativas dadas, aquela que contém as derivadas parciais de segunda ordem de g. Informações relevantes do enunciado: a função g está explícita em termos de x e y; precisamos calcular
\,g_{xx},\,g_{xy},\,g_{yx} e g_{yy}.
Nada mais é fornecido na figura ou tabela, então vamos calcular diretamente as derivadas.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de primeira ordem de g em relação a x, ou seja \,g_{x}. Lembre que ao derivar em relação a x tratamos y como constante.
  • Derivada de x^{2}y em relação a x: y é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=2x y.
  • Derivada de \cos y em relação a x: é 0, pois \cos y não depende de x.
  • Derivada de y\sin x em relação a x: y é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(y\sin x)=y\cos x.
    Portanto,
g_{x}(x,y)=2x y + y\cos x.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de primeira ordem de g em relação a y, ou seja \,g_{y}. Agora tratamos x como constante.
  • Derivada de x^{2}y em relação a y: x^{2} é constante, então \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2}.
  • Derivada de \cos y em relação a y: \dfrac{d}{dy}\cos y=-\sin y.
  • Derivada de y\sin x em relação a y: \sin x é constante, então \dfrac{\partial}{\partial y}(y\sin x)=\sin x.
    Portanto,
g_{y}(x,y)=x^{2}-\sin y+\sin x.

Passo 4

Calcular \,g_{xx}, a derivada parcial de segunda ordem em x, ou seja \dfrac{\partial}{\partial x}(g_{x}).
Partimos de g_{x}(x,y)=2x y + y\cos x.
  • Derivada de 2x y em relação a x: 2y.
  • Derivada de y\cos x em relação a x: y\cdot(-\sin x) = -y\sin x.
    Somando,
g_{xx}(x,y)=2y - y\sin x.
Explicação didática rápida: y é tratado como constante, por isso sai como fator em ambas as derivadas.

Passo 5

Calcular \,g_{xy}, que é \dfrac{\partial}{\partial y}(g_{x}).
Temos g_{x}(x,y)=2x y + y\cos x.
  • Derivada de 2x y em relação a y: 2x.
  • Derivada de y\cos x em relação a y: \cos x (pois \cos x é constante quando derivamos em y).
    Logo,
g_{xy}(x,y)=2x+\cos x.

Passo 6

Calcular \,g_{yx}, que é \dfrac{\partial}{\partial x}(g_{y}).
Temos g_{y}(x,y)=x^{2}-\sin y+\sin x.
  • Derivada de x^{2} em relação a x: 2x.
  • Derivada de -\sin y em relação a x: 0 (não depende de x).
  • Derivada de \sin x em relação a x: \cos x.
    Portanto,
g_{yx}(x,y)=2x+\cos x.
Observação útil para a prova: como g é formada por funções elementares (polinômio, \sin, \cos), as segundas derivadas são contínuas e portanto os mistos concordam, isto é g_{xy}=g_{yx} — e aqui ambos são 2x+\cos x.

Passo 7

Calcular \,g_{yy}, a derivada parcial de segunda ordem em y, ou seja \dfrac{\partial}{\partial y}(g_{y}).
Partimos de g_{y}(x,y)=x^{2}-\sin y+\sin x.
  • Derivada de x^{2} em relação a y: 0.
  • Derivada de -\sin y em relação a y: -\cos y.
  • Derivada de \sin x em relação a y: 0.
    Assim,
g_{yy}(x,y)=-\cos y.

Passo 8

Resumo das derivadas encontradas:
g_{xx}(x,y)=2y - y\sin x,\qquad g_{xy}(x,y)=g_{yx}(x,y)=2x+\cos x,\qquad g_{yy}(x,y)=-\cos y.
Comparando com as alternativas fornecidas, a que coincide exatamente com essas expressões é a alternativa (E).

Resposta

E

Exercícios relacionados