Assinale a alternativa correta sobre o domínio da função dada por por
f(x, y)=1-raizx^2-y
(a) (0,1) in dom(f).
(b) (-1,2) in dom(f).
© Todos os pontos da reta de equação y=2 x+10 estão no domínio de f.
(d) Os pontos da reta de equação y=x estão fora do domínio de f.
(e) Nenhuma das alternativas acima.

Passo 1

Vamos entender o problema. Temos a função e precisamos descobrir qual das alternativas (a) a (e) está correta em relação ao domínio dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de domínio de funções multivariáveis e raiz quadrada.

Passo 2

O domínio de uma função são todos os pares x^2 - y >= 0 implies y <= x^2 para os quais a função está definida. No caso de , a expressão dentro da raiz quadrada, , precisa ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar a raiz quadrada de números negativos no conjunto dos números reais. Então, temos:
Isso significa que o domínio de é composto por todos os pontos que estão abaixo ou sobre a parábola .

Passo 3

Vamos analisar a alternativa (a): 1 <= 0^2 implies 1 <= 0 .
Substituindo e na condição do domínio:
Isso é falso. Portanto, a alternativa (a) está incorreta.

Passo 4

Agora, a alternativa (b): 2 <= (-1)^2 implies 2 <= 1 .
Substituindo e :
Também é falso. Logo, a alternativa (b) está incorreta.

Passo 5

Vamos para a alternativa ©: Todos os pontos da reta de equação 2x + 10 <= x^2 implies x^2 - 2x - 10 >= 0 estão no domínio de x = 2 pm raiz4 + 402 = 2 pm raiz442 = 1 pm raiz11 .
Para verificar, substituímos na condição do domínio:
Resolvendo a inequação quadrática:
A parábola está acima do eixo fora do intervalo entre e . Isso significa que nem todos os pontos da reta satisfazem . Portanto, a alternativa © está incorreta.

Passo 6

Finalmente, a alternativa (d): Os pontos da reta de equação x <= x^2 implies x^2 - x >= 0 implies x(x - 1) >= 0 estão fora do domínio de .
Substituindo na condição do domínio:
Isso é verdadeiro para ou . Ou seja, apenas alguns pontos da reta estão fora do domínio de , não todos. Portanto, a alternativa (d) está incorreta.

Resposta

A alternativa correta é (e) Nenhuma das alternativas acima.

Exercícios relacionados