Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
Passo 1
A gente quer maximizar e minimizar a função
sujeita à restrição
. O conteúdo aqui é o método de multiplicadores de Lagrange, que diz que devemos resolver ,
com
.
Passo 2
Primeiro, calculamos os gradientes:
Passo 3
A condição
gera o sistema:
Passo 4
Caso 1:
e
. Da primeira equação segue
e da segunda
. Igualando:
Passo 5
Substituindo na restrição:
Passo 6
Caso 2:
. Da restrição vem
, ou seja os pontos
e
. A condição de Lagrange fica trivialmente satisfeita.
Passo 7
Agora calculamos
em cada ponto:
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Comparando esses valores, vemos que o maior valor deé e o menor é .
Resposta
O valor máximo de f é 2 (ocorre em (1,1) e (0,2)) e o valor mínimo de f é -2 (ocorre em (-1,-1) e (0,-2)).