Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
f(x, y)=x^3+y, 3 x^2+y^2=4

Passo 1

A gente quer maximizar e minimizar a função f(x,y)=x^3+y sujeita à restrição 3x^2+y^2=4. O conteúdo aqui é o método de multiplicadores de Lagrange, que diz que devemos resolver , nabla f=lambdanabla g com g(x,y)=3x^2+y^2-4.

Passo 2

Primeiro, calculamos os gradientes:
nabla f=(3x^2,,1), nabla g=(6x,,2y)

Passo 3

A condição nabla f=lambdanabla g gera o sistema:
3x^2=6lambda x, 1=2lambda y, 3x^2+y^2=4

Passo 4

Caso 1: xneq0 e yneq0. Da primeira equação segue lambda=x2 e da segunda lambda=12y. Igualando:
x2=12yRightarrow x=1y

Passo 5

Substituindo na restrição:
31y^2+y^2=4 que leva a y^4-4y^2+3=0, ou seja y^2=1 ou y^2=3. Assim os pontos são
(1,1),,(-1,-1),(tfrac1raiz3,raiz3),(-tfrac1raiz3,-raiz3)

Passo 6

Caso 2: x=0. Da restrição vem y^2=4, ou seja os pontos (0,2) e (0,-2). A condição de Lagrange fica trivialmente satisfeita.

Passo 7

Agora calculamos f=x^3+y em cada ponto:
  • (1,1): f=1+1=2.
  • (-1,-1): f=-1-1=-2.
  • (1/raiz3,raiz3): f=tfrac10raiz39approx1,924.
  • (-1/raiz3,-raiz3): f=-tfrac10raiz39approx-1,924.
  • (0,2): f=2.
  • (0,-2): f=-2.
    Comparando esses valores, vemos que o maior valor de f é 2 e o menor é -2.

Resposta

O valor máximo de f é 2 (ocorre em (1,1) e (0,2)) e o valor mínimo de f é -2 (ocorre em (-1,-1) e (0,-2)).

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