Assinale a(s) alternativa(s) corretas, em relação a seguinte função:
Escolha uma ou mais:
a. A função só não é contínua no ponto (1,-2)b. A função não é contínuac. A função é contínua no ponto (1,-2)d. A função é contínuae. O limite da função no ponto (1,-2) é igual a f(1,-2)f. A função só é contínua na região Dom(f) - (1,-2)
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função $ f(x, y) $ definida de forma diferente no ponto f(x, y) e em todos os outros pontos. O assunto aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular limites para verificar essa continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
f(x, y) = raizdfrac2x - y - 4raiz2x - y - 2, & se (x, y) neq (1, -2) 2, & se (x, y) = (1, -2)
Isso significa que, para qualquer ponto diferente de (1, -2), a função segue uma expressão mais complicada, mas no ponto (1, -2), ela é simplesmente igual a 2.
Passo 3
Agora, para verificar se a função é contínua no ponto (1, -2), precisamos comparar o limite da função quando (x, y) se aproxima de (1, -2) com o valor da função nesse ponto, que é 2.
Passo 4
Vamos calcular o limite da função quando (x, y) to (1, -2):
lim(x, y) to (1, -2) raizdfrac2x - y - 4raiz2x - y - 2
Primeiro, substituímos (x, y) por (1, -2) na expressão dentro da raiz:
2(1) - (-2) - 4 = 2 + 2 - 4 = 0
E no denominador:
raiz2(1) - (-2) - 2 = raiz4 - 2 = 2 - 2 = 0
Então, temos uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $. Para resolver isso, podemos usar uma substituição ou simplificação. Vamos simplificar a expressão:
00
Agora, calculamos o limite:
raizdfrac2x - y - 4raiz2x - y - 2 = raizdfrac(raiz2x - y)^2 - 4raiz2x - y - 2 = raizdfrac(raiz2x - y - 2)(raiz2x - y + 2)raiz2x - y - 2 = raizraiz2x - y + 2
O limite da função no ponto lim(x, y) to (1, -2) raizraiz2x - y + 2 = raizraiz4 + 2 = raiz2 + 2 = raiz4 = 2 é 2, que é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 5
Agora, analisando a continuidade:
Alternativa a: Diz que a função só não é contínua no ponto (1, -2). Isso está correto porque, em todos os outros pontos, a função está bem definida e continua.
Alternativa b: Afirma que a função não é contínua. Isso está incorreto porque a função é contínua em todos os pontos, exceto possivelmente em (1, -2).
Alternativa c: Diz que a função é contínua no ponto (1, -2). Isso está incorreto porque, embora o limite seja igual ao valor da função, precisamos verificar se a função está bem definida em todos os caminhos, o que não foi especificamente detalhado aqui. Porém, como o limite coincide com o valor da função, a função é contínua nesse ponto.
Alternativa d: Afirmativa geral que a função é contínua, o que está incorreto pelas mesmas razões da alternativa b.
Alternativa e: Diz que o limite é igual ao valor da função no ponto (1, -2), o que está correto.
Alternativa f: Afirma que a função só é contínua na região Dom(f) - {(1, -2)}, o que está correto se considerarmos que há uma descontinuidade no ponto (1, -2).