Calcule os limites: lim x a raiz[m]x-raiz[m]araiz[n]x-raiz[n]a

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular o limite
quando x→a de (√[m]{x} − √[m]{a})/(√[n]{x} − √[n]{a}). O conteúdo aqui é limite do tipo 0/0, que a gente resolve usando a regra de l’Hôpital ou reconhecendo derivadas de funções potência.

Passo 2

Verificação da forma indeterminada: ao substituir x = a temos √[m]{a}−√[m]{a}=0 e √[n]{a}−√[n]{a}=0, ou seja, a expressão fica 0/0.

Passo 3

Aplicação da regra de l’Hôpital: como é 0/0, derivamos numerador e denominador separadamente em relação a x.

Passo 4

Cálculo das derivadas:
Derivada do numerador: ddxx^1/m=1mx^1/m-1.
Derivada do denominador: ddxx^1/n=1nx^1/n-1.

Passo 5

Avaliação em x=a e simplificação do quociente:
1ma^1/m-11na^1/n-1=nm,a^l(1/m-1r)-l(1/n-1r)=nm,a^1/m-1/n

Resposta

nm,a^1/m-1/n

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