Calcule os limites:
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos calcular o limite
quando x→a de (√[m]{x} − √[m]{a})/(√[n]{x} − √[n]{a}). O conteúdo aqui é limite do tipo 0/0, que a gente resolve usando a regra de l’Hôpital ou reconhecendo derivadas de funções potência.
quando x→a de (√[m]{x} − √[m]{a})/(√[n]{x} − √[n]{a}). O conteúdo aqui é limite do tipo 0/0, que a gente resolve usando a regra de l’Hôpital ou reconhecendo derivadas de funções potência.
Passo 2
Verificação da forma indeterminada: ao substituir x = a temos √[m]{a}−√[m]{a}=0 e √[n]{a}−√[n]{a}=0, ou seja, a expressão fica 0/0.
Passo 3
Aplicação da regra de l’Hôpital: como é 0/0, derivamos numerador e denominador separadamente em relação a x.
Passo 4
Cálculo das derivadas:
Derivada do numerador: .
Derivada do denominador: .
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 5
Avaliação em x=a e simplificação do quociente: