Calcule os limites: lim x longrightarrow-1 raiz[3]x+1x+1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto -1 raiz[3]x+1x+1. Isso é um caso de indeterminação 0/0, então vamos usar uma troca de variável e fatoração para resolver.

Passo 2

Definimos a nova variável t = raiz[3]x. Assim x = t^3 e quando x to -1, temos t to -1. Reescrevendo a expressão em termos de t obtemos
raiz[3]x+1x+1 = t+1t^3+1

Passo 3

Usamos a fatoração da soma de cubos: t^3+1 = (t+1)(t^2 - t +1). Logo a fração vira
t+1(t+1)(t^2 - t +1) Podemos cancelar o fator t+1 (válido para tneq -1), reduzindo para
1t^2 - t +1

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando t to -1:
t^2 - t +1 = (-1)^2 -(-1) +1 = 1 +1 +1 = 3
Portanto o valor do limite é 1/3.

Resposta

1/3

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