Ache o intervalo de convergência das séries de potências
sumn=1^infty 10^nn! x^n;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para achar o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty 10^nn! x^n
Isso envolve entender sobre séries de potências e como determinar para quais valores de $ x $ a série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
an = 10^nn! x^n
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que nos diz para olhar o limite de:
| an+1an |
Se esse limite for menor que 1, a série converge.

Passo 3

Vamos calcular a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
an+1an
Agora, pegamos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
an+1an = 10^n+1(n+1)! x^n+1 times n!10^n x^n = 10xn+1
Como 0 é sempre menor que 1, independente do valor de $ x $, a condição do Teste da Razão é satisfeita para qualquer número real.

Resposta

O intervalo de convergência da série é todos os números reais, ou seja, $ x $ pertence a $ \mathbb{R} $.

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