Assinale a alternativa cuja equação em cordenadas polares não determina nem uma circunferencia nem reta.
a. \quad r=\frac{2}{\operatorname{sen}(\theta)}.
b. r=\operatorname{sen}(2 \theta) . \checkmark
c. \quad \theta=\pi / 2.
d. \quad r=5.
e. r=2 \operatorname{sen}(\theta).

Passo 1

O enunciado pede para identificar em coordenadas polares qual das curvas não é nem reta nem circunferência. Vamos usar a relação entre coordenadas polares (r,\theta) e cartesianas (x,y):
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
e verificar para cada equação se ela se transforma em y=ax+b, x=a ou x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.

Passo 2

Analisando as alternativas que podem ser retas:
  • Para \displaystyle r = \frac{2}{\sin\theta} multiplica-se por \sin\theta: r\sin\theta = 2\quad\Longrightarrow\quad y = 2,que é reta horizontal.
  • Para \theta = \frac\pi2 temos todos os pontos cuja coordenada angular é \pi/2, ou seja, a semirreta vertical positiva x=0,\;y\ge0, que também é uma reta.

Passo 3

Analisando as alternativas que podem ser circunferências:
  • Para \displaystyle r = 5 temos r^2 = 25\quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 = 25,circunferência de raio 5 e centro na origem.
  • Para \displaystyle r = 2\sin\theta multiplica-se por r: r = 2\sin\theta\quad\Longrightarrow\quad r\sin\theta = 2\sin^2\thetamas o caminho mais direto é r\sin\theta = y,\quad r = 2\sin\theta\;\Longrightarrow\;r^2 = 2y\;\Longrightarrow\;x^2 + y^2 = 2y\;\Longrightarrow\;x^2 + (y-1)^2 = 1,circunferência de raio 1 e centro (0,1).

Passo 4

Para \displaystyle r = \sin(2\theta) usamos \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta:
r = 2\sin\theta\cos\theta \;\Longrightarrow\; r^2 = 2r\sin\theta\cos\theta \;\Longrightarrow\; x^2 + y^2 = 2\frac{xy}{r} \;\Longrightarrow\; (x^2+y^2)^{3/2} = 2xy.
Essa equação não é de primeiro grau nem de segundo grau em x,y, trata-se de uma rosa de quatro pétalas, não sendo reta nem circunferência.

Resposta

b

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