Determine uma equação para o cilindro de raio 2 cujo eixo central contém os pontos (1,1,1) e ( 2,5,1 )

Passo 1

O enunciado pede a equação de um cilindro de raio 2 cujo eixo é a reta que passa por
P_1=(1,1,1)\quad\text{e}\quad P_2=(2,5,1).
Conteúdo: superfícies em espaço; definição de cilindro como o conjunto de pontos à distância fixa de uma reta; fórmula da distância ponto–reta usando produto vetorial.

Passo 2

Primeiro encontramos o vetor diretor da reta
\mathbf v = P_2 - P_1 = (2-1,\;5-1,\;1-1) = (1,\,4,\,0).
A reta pode ser escrita em forma paramétrica como
\ell:\; (x,y,z) = (1,1,1) + t\,(1,4,0).

Passo 3

Um ponto qualquer (x,y,z) pertence ao cilindro se e só se a distância d desse ponto à reta \ell for igual a 2. A fórmula é
d = \frac{\big\|\overrightarrow{P_1P}\times \mathbf v\big\|}{\|\mathbf v\|} = 2,
onde \overrightarrow{P_1P}=(x-1,y-1,z-1). Elevando ao quadrado, obtemos
\big\|\overrightarrow{P_1P}\times \mathbf v\big\|^2 \;=\; 4\,\|\mathbf v\|^2.

Passo 4

Calculemos o produto vetorial. Com
\overrightarrow{P_1P}=(x-1,\;y-1,\;z-1) e \mathbf v=(1,4,0),
\overrightarrow{P_1P}\times \mathbf v =\bigl((y-1)\cdot0-(z-1)\cdot4,\;(z-1)\cdot1-(x-1)\cdot0,\;(x-1)\cdot4-(y-1)\cdot1\bigr)
= \bigl(-4(z-1),\;(z-1),\;4(x-1)-(y-1)\bigr).

Passo 5

A norma ao quadrado desse vetor é
\|\overrightarrow{P_1P}\times \mathbf v\|^2 = [-4(z-1)]^2 + [(z-1)]^2 + [4(x-1)-(y-1)]^2
=16(z-1)^2 + (z-1)^2 + \bigl(4x-4 -y+1\bigr)^2 =17(z-1)^2 + (4x - y -3)^2.
Além disso
\|\mathbf v\|^2 = 1^2 + 4^2 + 0^2 = 17.
Logo a condição
\|\overrightarrow{P_1P}\times \mathbf v\|^2 = 4\,\|\mathbf v\|^2
vira
17(z-1)^2 + (4x - y -3)^2 = 4\cdot17 = 68.

Passo 6

Portanto, a equação do cilindro é
(4x - y -3)^2 \;+\; 17\,(z -1)^2 \;=\; 68.

Resposta

(4x - y -3)^2 + 17\,(z -1)^2 = 68.

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