Determine uma equação para o cilindro de raio 2 cujo eixo central contém os pontos (1,1,1) e ( 2,5,1 )
Passo 1
O enunciado pede a equação de um cilindro de raio 2 cujo eixo é a reta que passa por
P_1=(1,1,1)\quad\text{e}\quad P_2=(2,5,1).
Conteúdo: superfícies em espaço; definição de cilindro como o conjunto de pontos à distância fixa de uma reta; fórmula da distância ponto–reta usando produto vetorial.
Passo 2
Primeiro encontramos o vetor diretor da reta
\mathbf v = P_2 - P_1 = (2-1,\;5-1,\;1-1) = (1,\,4,\,0).
A reta pode ser escrita em forma paramétrica como
\ell:\; (x,y,z) = (1,1,1) + t\,(1,4,0).
Passo 3
Um ponto qualquer (x,y,z) pertence ao cilindro se e só se a distância d desse ponto à reta \ell for igual a 2. A fórmula é
d = \frac{\big\|\overrightarrow{P_1P}\times \mathbf v\big\|}{\|\mathbf v\|} = 2,
onde \overrightarrow{P_1P}=(x-1,y-1,z-1). Elevando ao quadrado, obtemos