Resolva o sistema linear dado por qualquer método.
\begin{array}{r} 2 x+2 y+4 z=0 \\\ w-y-3 z=0 \\\\ 2 w+3 x+y+z=0 \\\\ -2 w+x+3 y-2 z=0 \end{array}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas (w,x,y,z). O conteúdo principal é resolver um sistema de equações lineares por substituição e eliminação para encontrar a solução geral.

Passo 2

Da segunda equação
w - y - 3z = 0
isolamos w:
w = y + 3z.

Passo 3

Substituímos w = y + 3z nas terceira e quarta equações:
Terceira equação original:
2w + 3x + y + z = 0
fica
2(y + 3z) + 3x + y + z = 0,
ou seja
3x + 3y + 7z = 0.
Quarta equação original:
-2w + x + 3y - 2z = 0
fica
-2(y + 3z) + x + 3y - 2z = 0,
ou seja
x + y - 8z = 0.

Passo 4

Mantemos também a primeira equação
2x + 2y + 4z = 0
que podemos simplificar dividindo por 2:
x + y + 2z = 0.
Agora temos o sistema equivalente de três equações em (x,y,z):
\begin{cases} x + y + 2z = 0,\\\\ 3x + 3y + 7z = 0,\\\ x + y - 8z = 0. \end{cases}

Passo 5

Subtraindo a primeira equação da terceira:
(x + y - 8z) - (x + y + 2z) = 0 - 0
resulta em
-10z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = 0.

Passo 6

Com z = 0, a primeira equação simplificada
x + y + 2\cdot 0 = 0
y = -x.

Passo 7

Retornando à expressão de w:
w = y + 3z = (-x) + 3\cdot 0 = -x.

Passo 8

Introduzimos o parâmetro livre t = x. Assim
x = t,\quad y = -t,\quad z = 0,\quad w = -t.

Resposta

A solução geral do sistema é
(w,x,y,z) = \bigl(-t,\;t,\;-t,\;0\bigr),
com t\in\mathbb{R}.

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