Determine uma equação para a(s) quádrica(s) cêntricas que contém as curvas
\begin{aligned} & C_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{E}^{3} ; 2 x^{2}+3 y^{2}=5 \text { e } z=1\right\} & C_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{E}^{3} ; 4 z^{2}-3 y^{2}=1 \text { e } x=1\right\} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede uma quádricas céntrica(s) em \mathbb{E}^3 que contenha as curvas
C_{1} : 2x^{2} + 3y^{2} = 5,\; z = 1
e
C_{2} : 4z^{2} - 3y^{2} = 1,\; x = 1.
Vamos supor que a quádricas céntrica tenha centro na origem e equação do tipo
A x^{2} + B y^{2} + C z^{2} = 1.

Passo 2

Interseção com o plano z=1. Substituindo z=1 na equação geral, obtemos
A x^{2} + B y^{2} + C\cdot1^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad A x^{2} + B y^{2} = 1 - C.
Para coincidir com a curva C_{1} dada por 2x^{2}+3y^{2}=5, é preciso que
A x^{2} + B y^{2} = 1 - C \quad\Longleftrightarrow\quad 2x^{2} + 3y^{2} = 5
à semelhança. Logo, existe \mu\neq0 tal que
A = 2\mu,\quad B = 3\mu,\quad 1 - C = 5\mu.

Passo 3

Interseção com o plano x=1. Substituindo x=1, a quádricas fica
A\cdot1^{2} + B y^{2} + C z^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad B y^{2} + C z^{2} = 1 - A.
Para coincidir com C_{2}, dada por 4z^{2}-3y^{2}=1, existe \nu\neq0 tal que
B y^{2} + C z^{2} = 1 - A \quad\Longleftrightarrow\quad 4z^{2} - 3y^{2} = 1,
isto é,
B = -3\nu,\quad C = 4\nu,\quad 1 - A = \nu.

Passo 4

Resolvendo o sistema para (A,B,C,\mu,\nu):
De A=2\mu e A=1-\nu segue \nu=1-2\mu.
De B=3\mu e B=-3\nu segue \mu=-\nu.
Combinando \mu=-\nu em \nu=1-2\mu \mu=1 e \nu=-1.
Substituindo,
A = 2\mu = 2,\quad B = 3\mu = 3,\quad C = 1 - 5\mu = -4,
verificando também C=4\nu=-4.

Resposta

2x^{2} + 3y^{2} - 4z^{2} = 1.

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