Assinale a alternativa que determina a equação do paraboloide elíptico com vértice na origem, eixo sobre o eixo Z e que passa pelos pontos A=(1,0,1) e B=(0,2,1).

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um paraboloide elíptico que tem seu vértice na origem, seu eixo alinhado com o eixo $ Z $ e que passa pelos pontos $ A = (1, 0, 1) $ e $ B = (0, 2, 1) $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre as equações de superfícies quadricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral da equação de um paraboloide elíptico com vértice na origem e eixo sobre o eixo $ Z $:
Z
Aqui, $ a $ e $ b $ são constantes que determinam a “abertura” do paraboloide nas direções $ X $ e $ Y $, respectivamente.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar os valores de $ a $ e $ b $ que fazem o paraboloide passar pelos pontos $ A $ e $ B $. Vamos substituir as coordenadas desses pontos na equação para obter um sistema de equações.
Para o ponto $ A = (1, 0, 1) $:
a
Isso simplifica para:
b

Passo 4

Agora, vamos usar o ponto $ B = (0, 2, 1) $ na equação do paraboloide:
B = (0, 2, 1)
Resolvendo para $ b^2 $:
1 = 0^2a^2 + 2^2b^2 implies 1 = 4b^2

Passo 5

Com os valores de $ a $ e $ b $ encontrados, podemos substituir na equação geral do paraboloide elíptico:
a

Resposta

A equação do paraboloide elíptico é:
z = x^2 + y^24

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